1.4 Lebesgue积分理论

本节将在测度空间（R，M，μ）上建立积分并讨论这种积分的性质.首先，我们引入非负简单函数的Lebesgue积分理论.

定义1.4.1 设E∈M，f为E上的非负简单函数，即

其中，a_i≥0，，且当i≠j时，E_i∩E_j=∅.如果＜∞，则称f在E上的Lebesgue积分为.如果=∞，则称f在E上不可积.

例1.4.1 由定义知=0×1+1×0=0，即Dirichlet函数在［0，1］上的Lebesgue积分为0.但由数学分析知，Dirichlet函数在［0，1］上的Riemann（黎曼）积分不存在.

下面介绍一般非负函数的Lebesgue积分理论.

定义1.4.2 设E∈M，f为E上的非负函数，令

如果supY（E，f）＜∞，则称f在E上的Lebesgue积分为supY（E，f），记为.

如果supY（E，f）=∞，则称f在E上不可积.

注：如果E=[a，b]，则记为，或.规定

定理1.4.1 设E∈M，f为E上的非负函数，则.

定理1.4.2 设E∈M，f，g为E上的非负函数.

（1）若m（E）=0，则=0；

（2）对任意非负常数α，有；

（3）对任意A，B∈M，若A∩B=∅，则；

（4）若f（x）≤g（x）在E上几乎处处成立，则；

（5）；

（6）若A⊂B，则；

（7）若m（E）＞0，则=0⇔f（x）=0（a.e.inE）.

定理1.4.3 设为一列单调递增的可测集，且，f为E上的非负可积函数，则.

定理1.4.4（Levi定理） 设，f（x）均为可测集E上的非负可测函数，且=f（x）（a.e.inE）.

（1）如果单调递增，则有；

（2）如果单调递减，且，则有.

定理1.4.5（Fatou引理） 设为可测集E上的非负可测函数列，则有

定理1.4.6 设为可测集E上的非负可测函数列，则有

最后引入任一可测函数的Lebesgue积分理论.

一般可测函数的Lebesgue积分有多种定义方式，下面介绍几种常用的定义.

定义1.4.3 设f（x）为可测集E上的可测函数，如果与均为有限数，则称f（x）在E上可积，且.

为了给出等价定义，下面引入大和、小和的概念.

对E的任一划分，令S（T，f）=，其中，称S（T，f）与s（T，f）分别为划分T对应的大和与小和.与微积分中达布大和与达布小和类似，大和与小和有下列性质：

（1）s（T，f）≤S（T，f）；

（2）对T进行细分时，大和不增，小和不减.

定义1.4.3′ 设f（x）为可测集E上的可测函数，如果，则称f（x）在E上可积，且.

定义1.4.3″ 设f（x）为可测集E上的有界可测函数，且m≤f（x）≤M，在［m，M］中取一组分点m=l₀<l₁<l₂<…<l_n-1<l_n=M，记该划分为T.再记

则E_k∈M.对任取的ζ_k∈[l_k-1，l_k]，作和，如果极限存在，且极限与划分T及ζ_k的取法无关，则称f（x）在E上可积，且.

记E上Lebesgue可积的函数全体为L1（E）.

一般可测函数的Lebesgue积分有下列性质：

定理1.4.7 设E为可测集.

（1）若μ（E）<∞，则E上任一有界可测函数必可积.

（2）若f（x）∈L1（E），则f（x）必在E上几乎处处有限.

（3）若f（x）∈L1（E），则∈L1（E），且.

（4）若f（x）=0（a.e.inE），则.

（5）若f（x）∈L1（E），则对任意常数α，有.

（6）若f（x）∈L1（A），f（x）∈L1（B），且A∩B=∅，则

（7）若f（x），g（x）∈L1（E），且f（x）≤g（x）在E上几乎处处成立，则

（8）若f（x），g（x）∈L1（E），则.

（9）若g（x）∈L1（E），f（x）在E上可测，且|f（x）|≤|g（x）|（a.e.inE），则f（x）∈L1（E）.

（10）若f（x）∈L1（E），则.

（11）若f（x），g（x）∈L1（R），且对任意E∈M，均有，则有f（x）≤g（x）（a.e.in R）.特别地，对任意E∈M，均有，则有f（x）=g（x）（a.e.in R）.

（12）设f（x）为R上的非负可测函数，任给E∈M，则对应［0，+∞］上的一个数，令，则ν为M上的一个测度.

定理1.4.8（Lebesgue控制收敛定理） 设为可测集E上的可测函数列，g（x）∈L1（E），且对一切n均有|f_n（x）|≤g（x）（a.e.inE），=f（x）（a.e.inE）.则有f（x）∈L1（E），且.

定理1.4.9 设f（x）为R上的可积函数，g_n（x）=f（x）I_[-n,n]（x），h_n（x）=min{f（x），n}，则

（1）=0.

（2）=0.

定理1.4.10（Lebesgue积分的绝对连续性） 设f（x）为可测集E上的可积函数，则对A∈E，有.

定理1.4.11（Beppo-Levi定理） 设为可测集E上的可测函数列，如果，则和函数在E上几乎处处收敛，且和函数为可积函数，并有

定理1.4.12（Riemann积分与Lebesgue积分的关系） 设f（x）为［a，b］上的有界函数，则有

（1）f（x）在[a，b]上Riemann可积⇔f（x）在[a，b]上几乎处处连续.

（2）f（x）在[a，b]上Riemann可积⇒f（x）在[a，b]上Lebesgue可积，且