1.5 乘积测度与Fubini定理
本节介绍Rn上的Lebesgue测度、Lebesgue积分及其性质.
在本节中，我们指定两个集合Ω1与Ω2的乘积Ω1×Ω2为它们的笛卡儿积，即
Ω1×Ω2={（ω1，ω2）|ω1∈Ω1，ω2∈Ω2}
设I1，I2为R上的区间，则称I=I1×I2为R2上的区间，称l（I）=λ（I1）×λ（I2）为区间I的长度.同理，称I=I1×I2×…×In为Rn上的区间，称l（I）=λ（I1）×λ（I2）×…×λ（In）为区间I的长度.
定义1.5.1 设∀A⊂Rn，如果A总能被总长度任意小的区间列所覆盖，则称A为零集.
显然，R2上的散点列{（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），…}必为零集.R2上的任何直线、曲线、线段均为零集.R3上的任何线、平面、曲面均为零集.Rn上的任何低维子空间均为零集.
定义1.5.2 称所有区间生成的σ-代数为Borel σ-代数.Rn上Borel σ-代数加上所有零集称为Lebesgue σ-代数.
由于Rn上零集均为Lebesgue可测集，故对任何A⊂R，a∈R，A×{a}必为Lebesgue可测集，不论A是否为Lebesgue可测集.
现将乘积σ-代数推广到一般测度空间中.设（Ω1，F1，P1）与（Ω2，F2，P2）是两个测度空间.
令Ω=Ω1×Ω2，现构造Ω上的σ-代数及测度.
定义1.5.3 称由{A×B|∀A∈
，B∈
}生成的σ-代数为
与
的乘积σ-代数，记为
.
记
={A×B|A∈
，B∈
}，则称
为Ω的矩形族，显然，
.记
称R为Ω的柱形族.
定理1.5.1 （1）
.
（2）
是使投影映射
同时为可测映射的最小σ-代数.
定理1.5.2 设β（R）为R上的Borel σ-代数，则
生成R2中同一σ-代数.
下面介绍著名的单调类定理.
定义1.5.4 设（Ω1，
），（Ω2，
），…，（Ωn，
）是n个可测空间.令Ω=Ω1×Ω2×…×Ωn，
=σ{A1×A2×…×An|A1∈
，A2∈
，…，An∈
}，则称（Ω，
）为（Ω1，
），（Ω2，
），…，（Ωn，
）的乘积空间.
定义1.5.5 设
为非空集合Ω上的子集族，若
满足：
（1）Ω∈
；
（2）若A∈
，则Ac∈
；
（3）若A1，A2，…，An∈
，则
，
则称
为一个域.
从定义可看出，σ-代数一定是域，反之不然.
定义1.5.6 设
为非空集合Ω上的子集族，如果
满足：
（1）若
，且An⊂An+1，则有
；
（2）若
，且An+1⊂An，则有
，
那么称
为一个单调类（即满足单调集列的极限封闭的集族称为单调类）.
显然，任一σ-代数一定是单调类，但单调类不一定是σ-代数.
定理1.5.3（单调类定理） 设
为一个域，则包含
的最小单调类与
生成的σ-代数相同.
设（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）是两个测度空间，令Ω=Ω1×Ω2，前面已经构造了Ω上的乘积σ-代数，现构造（Ω，
）上的测度.
由于
=σ（{A×B|A∈
，B∈
}），故
中可能有的元素不能分解为A×B的形式，从而对任意
，不能按μ（C）=P1（A）×P2（B）来定义测度μ.
定义1.5.7（截口的定义） 设A⊂Ω1×Ω2，∀ω2∈Ω2，称
为A关于ω2的截口.
同理可定义A关于ω1∈Ω1的截口
.
定理1.5.4 （1）如果A1，A2∈Ω1×Ω2，且A1，A2不交，则对任意ω1∈Ω1，ω2∈Ω2，
与
不交，
与
不交；
（2）并的截口等于截口的并，即如果
，则
.
定理1.5.5 设
，则对任意ω1∈Ω1，ω2∈Ω2，有
.即二维可测空间（Ω1×Ω2，
）中任一可测集的截口必为一维可测空间中的可测集.
从定义可看出，
，对任意ω1∈Ω1，ω2∈Ω2，
有意义.
定理1.5.6 设
与
是两个测度空间，且P1与P2均为有限测度.则
，映射P1（Ag）:Ω2→R，ω2→
是
可测函数；映射P2（Ag）:Ω1→R，ω1→
是
可测函数
.
定理1.5.7 设（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）是两个测度空间，且P1与P2均为有限测度，则映射
为（Ω1×Ω2，
）上的测度，且对任意
，有P（C）=P1（A）×P2（B）.
定义1.5.8 称由定理1.5.7确定的测度P为
上的乘积测度，记为P1×P2.
这样就得到了（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）的乘积测度空间（Ω1×Ω2，
，P1×P2）.
注：当（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）均为完备的测度空间时，（Ω1×Ω2，
，P1×P2）不一定是完备的.
例1.5.1 设（R，M，m）为Lebesgue测度空间，显然，它是完备的测度空间.但（R×R，M×M，m×m）不是完备的.事实上，取A为M中的零集，B为[0，1]上的不可测集（B∉M），则A×B为R2中的零集，它是M×M中的零集A×[0，1]的子集，但A×B∉M×M，否则
=B∈M.因此（R×R，M×M，m×m）不是完备的.
与R1类似，可以定义Rn的Borel σ-代数、Lebesgue σ-代数及Lebesgue测度，同样Lebesgue测度空间是完备的.
定理1.5.8 设（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）是两个测度空间，f：Ω1×Ω2→R为
可测函数，则∀ω1∈Ω1，
：ω2→f（ω1，ω2）关于
可测；∀ω2∈Ω2，
：ω1→f（ω1，ω2）关于
可测.
定理1.5.9 设（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）是两个测度空间，f:Ω1×Ω2→R为
非负可测函数，则h（ω1）=
关于
可测；h（ω2）=
，ω2）dP1关于
可测.
定理1.5.10（Fubini定理） 设（Ω1，
，P1）与（Ω2，
，P2）是两个测度空间，f:Ω1×Ω2→R为P=P1×P2可积函数，则有
L1（Ω2），且
定理1.5.11 设E⊂R，f（x）是E上非负可测函数，称Gf={（x，y）|x∈E，0≤y≤f（x）}为f（x）的下方图形.则有Gf是M2可测集，且
，其中（R2，M2，μ2）表示R2中Lebesgue测度空间.