3．对循环小数问题再探

我们知道：三角形可用海伦公式计算其面积，即已知△ABC的三边长分别为a，b，c，设p=（a+b+c），则S=怎样想到寻求三角形的面积公式呢？因为已知三角形的三边，则三角形固定，当然三角形面积也固定，自然想到面积必能用其三边表示.由此可想到三角形全等的条件可固定三角形.沿着这条路我们可得到三角形新的面积公式.

如果再应用三角函数和三角形边角关系，可得到十几种面积公式.

当三角形确定时，它的面积必然确定，此三角形的其他量也就确定，诸如中线、角平分线、内切圆等.我们就将此思想称为确定性原理吧.许多数学问题的发现与解决都源于此原理.

在上一篇中我们主要应用归纳思想发现了整除性与循环小数的关系，在本篇中我们主要以确定性原理与演绎推理研究分数与循环小数问题.

1．循环小数与有限小数的本质原因

分数化小数是我们熟悉的过程，但真正深刻理解它的人并不多.因为我们从小跟着老师，照着课本学习，自然而然认为知识就是书上写的那些.其实书上的和老师教的知识只是九牛之一毛，沧海之一粟，大学问在于自己思考、探究.我们现在回到小学的除法看看：

当分数化小数这个过程完成的时候，小数会有各种不同的形式，由于分数可化为既约分数，我们只研究既约分数（a与b互质的真分数），如：

(Ⅰ)=0.2=0.075

(Ⅱ)=0.444…=0.142857142857…

(Ⅲ)=0.166…=0.233…

我们首先有结论：

结论：分数化为小数时，或为有限小数，或为循环小数，分母起决定作用.

为什么分数化为小数时不是有限小数就必然是循环小数呢？因为，若不是有限小数，每次必有余数r（0＜r＜b），余数只有有限个，会重复出现，导致商重复出现.由于“倍数变换”与循环小数对应，分数化小数循环就是倍数变换循环，至此前面的问题1完全解决.

最简单的是第（Ⅰ）类，这类分数化成的是有限小数，它有通式，即分母只有质因子2和5.这类分数可以“扩大”，使得它们的分母成为10的幂的形式.

如果已知的分数含有不能被2或5整除的因子k，显然这种分数不能“扩大”成10的幂的分数.

假设，即2γ-α·5γ-β=a·k.

假设k大于1，它应能被2或5整除，由a·k的质因子的唯一性，2或5是能整除a·k和k仅有的质因子，k只有2和5作为因子.

定理1 只有形如（a，α，β∈N*）形式的分数才能化成有限小数.

实际上当分母的质因子只含2或5时，分数化成的小数数位由α和β中较大者决定.

设α≥β，则，即a·5α-β小数点向左移动α位.

在第（Ⅱ）类中，分数能化成无限循环小数，并从小数点后第一位就开始循环，例如开头就是142857的重复.

而在第（Ⅲ）类中，都是化成无限循环小数，不过其循环节并不是一开始就出现的，而是从小数点后若干位才出现的，例如=0.166…，循环节6是小数点后第二位才出现的.

在第（Ⅱ）类中，分母与10没有公共因子，因此，我们有结论：

定理2 若b与10互质，则的小数展开式必从小数点后立即循环.

为此我们就得证明，开始重复的第一个余数是整个序列中的第一个，即分子自身.如果第m个余数与第n个余数相等，即rm=rn，那么之前的余数rm-1和rn-1也相等，实际上可以是任意靠前的余数.由10·rm-1和10·rn-1除以b得rm和rn，即

10·rm-1=qm-1·b+rm

10·rn-1=qn-1·b+rn

因为rm=rn

则10·（rm-1-rn-1）=（qm-1-qn-1）·b.

由此可见10·（rm-1-rn-1）能被b整除，由于10和b互质，则b必能整除rm-1-rn-1，那么这个差rm-1-rn-1是下列数中的一个：

0,±b,±2b,…

另一方面，rm-1和rn-1都是余数，每一个都小于b，因此rm-1-rn-1仅有可能是

rm-1-rn-1=0，即rm-1=rn-1

因此，循环应尽可能提前开始，实际上应从小数点后立即开始.

第（Ⅲ）类中的分数化成的小数，在小数点后若干位才出现循环.我们称这种小数为混循环小数，而小数点后不是循环节的那一部分数，我们称之为混数位，而混数位是可以较容易确定下来的.

2．循环小数化分数

对于任意一个分数，我们总可以化成小数（有限小数或无限循环小数），由以上知识可知，对于有限小数总可以将分母“扩大”为10的幂化成分数，如：2.37=.对于循环小数（如：2.37），如何将它化为分数呢？我们可以用以下方法进行（举例说明）：

（1）对于纯循环小数0.323232…

令x=0.323232…

则100x=32.323232…=32+x

则x=

规律：化纯循环小数为分数，分数的分子为循环节的所有数，分母全是9，9的个数等于循环节的长度.

（2）对于混循环小数，我们可以将其分解为有限小数与纯循环小数相加，从而化为分数.

规律：化混循环小数为分数，分数的分子为第二个循环节前的所有数（去掉小数点）减去不循环的数（去掉小数点）；分母由9和0组成，9全在前，0全在后；9的个数等于循环节的长度，0的个数等于原来的小数的小数点后不循环的数的个数.

应用以上规律直接可写成分数.

3．分母与10互质的分数（即分母不含质因子2与5的分数）

结论：分数是既约分数，相除得到的余数都是与b互质的数.

由于分子a被当作第一个余数且与b互质，由a产生的余数（10a=qb+r）r是与b互质的余数[若（b，r）=d≠1，则与（a，b）=1，（b，10）=1矛盾].

同理，除法下一步是由b除10r得到商q1和余数r1，即10r=q1b+r1或r1=10r-q1b.因为b与10互质，也与r互质，于是b既与10r互质也与10r-qb互质.因为b与r1互质，所以以后产生的所有余数都与b互质.

结论：小数的循环节长度为不大于与b互质的余数的个数.

4．欧拉函数

与b互质的余数的个数，在数论中常用ψ（b）表示.其实ψ（b）通常叫欧拉函数.ψ（2）=1，ψ（3）=2，ψ（4）=2，ψ（5）=4，ψ（6）=2，特别对质数p，ψ（p）=p-1.

欧拉函数有如下性质[注1]：

定理3 欧拉函数是积性函数，即若（m，n）=1，

则ψ（m，n）=ψ（m）ψ（n）

此处不作详细证明.

定理4 若p是质数，k＞0，则ψ（pk）=pk-pk-1=pk

证明：因p是质数，若（n，pk）=1，则p与n互质.反之，若p与n互质，则（n，pk）=1，这样在1和pk之间恰有pk-1个数能被p整除，

即p，2p，…，pk-1.

而其他pk-pk-1个数与之互质，所以ψ（pk）=pk-pk-1=pk.

对于欧拉函数ψ（n），知道n，如何计算ψ（n）的值呢？欧拉对其给出了ψ（n）的计算公式.[注2]

欧拉公式：如果N=，

那么

我们现在可以说：当b与10互质时，分数的循环长度最多有ψ（b）位.

5．重新分析循环小数化分数

在上面的讨论当中，我们知道，当分数是既约分数，其小数的循环节由b确定.

又知道纯循环小数化分数的方法，如

类似地，每一个纯循环小数都可以表达为（其中p为循环节，λ表示循环长度），即bp=a（10λ-1），因为a与b互质，那么λ是使10λ-1能被b整除的最小的数.

至此，我们已经证明：

定理5 分数的循环节长度λ是使10λ-1能被b整除的最小的数.

此时，我们可以得知，数λ由b确定且与a无关.有相同分母b的一切既约分数，都有相同长度的循环节.我们将用λ=λ（b）表示（记号强调λ对b的依赖性）.

既然如此，我们就主要对分数进行研究.

此时，我们再看看混循环小数.由上面可知，混循环小数有通式

假设 α≥β，

则于是我们可以从上式看出的小数点向左移动α位，即混数位有α位，并且之后有循环数位λ（k）.

综合上述，可得：

结论：当分数约分后通式为时，如r为α和β的较大者，则混数位为r位且之后循环节长度为λ（k）.

6．λ（b）和ψ（b）之间的关系

我们以作为讨论出发点.通过试验，小于21的20个数中很易求出ψ（21）=12，但通过除法我们得到

下面的小数字是余数，循环节长度λ（21）=6＜12=ψ（21）.

在做除法的过程中，12个可能的余数中，只有6个余数出现，我们把它们排列在表（A）中.

由此表我们可以写出：

但是，我们不能求得另一个分数的展式.这个分数需要重新做除法

由此我们得到表（B）

在此表中，不只出现一个新余数2，所有其他余数也都是新的.可以证明以前的旧余数在此表中不会出现.

那么，表（A）和表（B）合在一起含有2λ（b）个不同的余数，它们都与b互质.或者这些数表示所有可能的余数，这时2λ（b）=ψ（b）；或者还剩下其他余数，如s不在表（A）和表（B）中，我们展开，得另一表（C），如此一直造出k个表后，包含了所有余数，并且ψ（b）=k·λ（b）.于是得到：

定理6 循环节的长度λ（b）是ψ（b）的因子，即ψ（b）=kλ（b）.

由此我们马上知道只有质数b的循环节长度是b-1的因子.

7．费马定理与欧拉定理

（这部分定理在有关数论的书上都有，在此不作详细证明）

我们知道下列多项式定理：如果x，k是正整数，那么xk-1可以被x-1整除，即

(1+x+x2+x3+…+xk-1)(x-1)=xk-1

此式也可用等比数列求和证明.

如果取x=10λ（b），那么可以断定10λ（b）-1可以整除10ψ（b）-1，即

10k·λ(b)-1=10ψ(b)-1

由前面已知，b可以整除10λ（b）-1，因而b可以整除10ψ（b）-1.由此得到一个重要定理：

定理7 如果b与10互质，那么10ψ（b）-1可被b整除.

这个定理已经与循环小数没多大关系了，因为ψ（b）有完全独立的意义.又可得定理：

定理8 如果p是质数，那么10p-1-1可以被p整除.

10是非本质的，如果设想数系建立在数g的基础上，可得到更一般的结论：

定理9 如果b与g互质，那么gψ（b）-1可被b整除（欧拉定理）.

定理10 如果p是质数且与g互质，那么gp-1-1可被p整除（费马定理）.

这里得到的定理，已经超出小数这个特殊题目的范围.它们是数论中的基本定理.下面用几个例子来解释这些定理：

p=7:

p=6,ψ(6)=2:

p=10,ψ(10)=4:

34-1=80=8×10

74-1=2400=240×10

94-1=6560=656×10

8．循环小数与99…9的又一联系

在以上的分析讨论中，我们看到无论是循环小数化分数，还是循环节的长度等问题都与99…9有密切关系.下面我们再研究循环小数与99…9的另一个特征.这个特征与其说它重要，不如说它有趣.

的循环节由6个数字142857组成.我们把它对半分开，然后相加，得到

142+857=999

的循环节是0588235294117647.把它对半分开，然后加起来，得到

05882352+94117647=99999999

的循环节是09，我们有0+9=9.

我们将证明，如果循环节产生于分母是质数的分数，并且由偶数个数码组成，那么这个循环节的两半之和总是一个完全由数字9组成的数.

如果循环节的长度λ是偶数，我们可以记为λ=2l.还有，如果循环节P的两半是A和B，P是有λ个数字的数，而A和B都是有l个数字的数.留意到一个数中的数字的位置的意义，我们有

P=A·10l+B

我们知道，分数可以由循环节P并借助求得，所以

说明分母可以扩大为10λ-1，即p可以整除10λ-1.

由于λ=2l，我们又有10λ-1=102l-1=（10l-1）（10l+1）.

如果p可以整除10λ-1=（10l-1）（10l+1），由于p是质数，它必定至少可整除两个因子中的一个.由于l小于λ，而λ是使10λ-1可被p整除的最小的数，所以p不能整除10l-1.最后必须能整除10l+1.所以我们有

这可改写为

由于p可以整除10l+1，左端就是一个整数.因而右端也是一个整数.现在还可以写为

而且由于A是一个整数，因此

现在A是由l个数字组成的，并且当所有这些数字都是9时是最大的.l个9组成的数是10l-1，因此A≤10l-1.同样的方法也有B≤10l-1.因此

A+B≤2(10l-1)

这个不等式的等号是不能成立的，因为A+B=2（10l-1），这就可推导出A和B同时有值（10l-1）.那么A和B只应当含有9，并且p就是21个相同的数字9组成的数.这是荒谬的，因为这时循环节只由一个数字9组成，而我们假定的是有偶数个数字.因此我们有

A+B＜2(10l-1)

现在把=h改写为A+B=h（10l-1），其中h是正整数.

结合以上两式，所以h小于2，那么它必然是1.从而

A+B=10l-1

即A+B是由l个9所组成的数99…9.

9．合数的倒数与其单个质因数倒数所化成的小数关系

在这一部分，我们将主要运用这一个公式.

若b=n·m，则有∴但此时λ并不一定是最小值，如，但

此时我们只能知道λ（m·n）=k1λ（m）和λ（m·n）=k2λ（n）.

也就是说，若q是b的因子，那么q的循环节长度也是b循环节长度的因子.

在此处，我们假设q不含因子3，

∴ 10λ-1必然含有因子9.

∵ q不含因子3，

∴p必能被3或9整除

∴

∴

此时我们只能说

λ（q）=k1λ（3q）或λ（q）=k2λ（9q）

但我们只能从中可知

λ（3q）=k3λ（q）和λ（9q）=k4λ（q）

此时k1，k2，k3，k4只能取1.

∴λ(q)=λ(3q)=λ(9q)

于是，我们得到定理：

定理11 一个其质因子不含3的数的循环节长度与此数的3倍和9倍的数的循环节长度相同.

但在这里，而，，这不就与上面的定理相矛盾吗？其实并不是这样的.因为1=0.9，也就是说有1个循环节，也就是说完全符合上面的定理.

从而，我们还有以下结论：

结论：在绝大多数情况下，一个质数p的幂pa的倒数的小数展开式，其循环节的位数是r·pa-1，这里的r是的循环节位数.例如的循环节是09，共两位，从而的循环节有22位.

两个特别的例外是，它只有1位循环，与的循环节数相同；的循环节有486位，与情况一样.

10．循环小数中的数字出现的统计规律

进一步研究，我们又可以发现循环小数的一种统计规律：

先看以下分数：

，数字1，4，2，8，5，7各出现2次；0，3，6，9各1次.

，数字1，4，2，8，5，7各出现2次；0，3各2次；6，9各1次.

，数字1，4，2，8，5，7各出现2次；3，6各3次；0，9各2次.

，数字1，4，2，8，5，7各出现3次；0，3，9各3次；6出现1次.

在的循环节中出现1，4，2，8，5，7，而在别的分数的循环节中，若多于6位，那么出现1，4，2，8，5，7的频数是一样多的，而出现0，3，6，9的频数却不一定相同.

但

，数字0，1，3，4，5，7，8各出现3次；2，6，9各2次.

在以上两例中，1，4，2，8，5，7出现的频数不等，都是例外.

由此似乎有以下结论：如果（n为质数）的循环节有（n-1）位，循环节长度大于6，那么出现1，4，2，8，5，7的频数是一样多的，而出现0，3，6，9的频数却不一定相同.

化为循环小数有498位，其中1，4，2，8，5，7各出现50次.

新问题：这些规律的本质又是什么？如何证明？

数学博大精深，整数与循环小数中的问题俯拾皆是.通过仔细探究，发现了如此复杂的内在联系.以上虽涉及的只是数学中的沧海一粟，学习的一孔之得，但更重要的是，学到的是一种正确的科学方法，一把打开科学之门的钥匙，它将激励我们在数学的海洋里搏击，在科学的天空中翱翔！

思考与研究

（1）给定三角形的三边可得到求其面积的公式，那么给出四面体的六条棱长，能否得到其体积公式？为什么？你由此可得到什么结论？

（2）分数化小数必呈现出循环规律，但无理数（如，π）等用小数表示就无规律，能否找到新的表示形式使其呈现出某种规律？（参考“连分数及其应用”）

参考文献

[1][注1,2]何国樑，肖振纲.初等数论[M].海口：海南出版社，1992

[2][德]汉斯·拉德梅彻著.数学欣赏[M].左平译.北京：北京出版社，1981