13.2 子群和单群

群的子群概念有着特殊意义。为了说明子群，我们从某个群中选出一些元素组成新的群，它像整个群一样满足同样的乘法律和逆运算。对许多现代粒子物理理论来说，子群尤显重要。人们总是倾向于认为，自然界存在某种基本对称性，这种基本对称性将不同粒子彼此连结起来，并使得不同粒子间的相互作用彼此关联。但我们至今没有找到这样一种明白表示对称的完全群，反过来，我们倒是看到这种基本对称性发生“破缺”导致产生原始群的某个子群，这种子群表现出明显的对称性。因此，弄清楚这种假想的“基本”对称群实际会有什么样的子群这一点非常重要。为了阐明那些在自然界明显存在的对称性是否源自这种假想群的子群等问题，我还将在§§25.5－8，§26.11和§28.1节里不断回到这个主题上来。

我们来研究子群的一些特例。这些例子均取自我们已考察过的那些情形。正方形的非镜面反射对称构成该正方形整个八元素对称群的四元素子群｛1，i，－1，－i｝。同样，非镜面反射转动群SO（3）构成了完全群O（3）的子群。正方形的另一个对称子群由四元素｛1，－1，C，－C｝组成，第三个子群则只有两元素｛1，－1｝．*〔13.5〕除此之外，还存在由单位元本身构成的平凡子群｛1｝（整个群本身也是一种平凡子群）。

上面列举的这些不同的子群有一种特别重要的性质，即它们都是所谓正规子群。恰当点说，正规子群的意义在于它是总群任一元素的作用只留下来一种正规子群。更专业点说，总群的每一个元素都可与正规子群进行对易。说得更明白点，假若有总群G和子群S，如果从群G里挑出某个元素g，于是我就可以用S g来代表由所有S元素里的每一个在右边乘上g（右乘以g）所组成的集合。这样，具体到正方形对称群的子群S=｛1，－1，C，－C｝，如果我们取g=i，便得到S i=｛i，－i，Ci，－Ci｝。类似地，记号gS代表的是由所有S元素里的每一个在左边乘上g（左乘以g）组成的集合。对于所举的例子，就是iS=｛i，－i，iC，－iC｝。S要成为G的正规子群的条件，就是要求这两个集合相同，即对G中的所有g，有

S g=gS。

通过这个例子我们看到，情形的确如此（因为Ci=－iC，－Ci=iC）。但我们也应记住，两花括号里元素累加形成的集应看作是无序集（因此将S i和iS的表达式都写出来后，在所有元素累加的集合中，出现－iC和iC的倒序无关紧要）。

我们也可以写出正方形对称群的非正规子群，如两元素子群｛1，C｝。因为有｛1，C｝i=｛i，Ci｝，而i｛1，C｝=｛i，－Ci｝。注意，如果在正方形上标以指向右的水平箭头（如图13.3 （a）所示），我们就会意识到这种子群是一种新的（约化）对称群。如果将箭头指向斜下方（图13.3（b）），那么就可以得到另一个非正规子群｛1，Ci｝。**〔13.6〕在O（3）里，只有唯一一个非平凡正规子群，***〔13.7〕就是SO（3），但却有许多个非正规子群。如果我们在球面上选定某个有有限个点的点集，然后来求球面关于这些点的对称性，即可得到这种非正规子群。但如果只标一个点，则子群由球面绕该点到原点连线的轴转动组成（图13.3（c））。另一方面，如果我们标出的点譬如说是规则多边形的各个顶点，那么这个子群是个有限群，它由该规则多边形的对称群组成（图13.3（d））。

图13.3 （a）在图13.1的正方形上标以指向右边的箭头，使正方形的对称群减少到非正规子群｛1，C｝。（b）在正方形上标以指向右下对角线的箭头，则产生不同的非正规子群｛1，Ci｝。（c）在图13.2的球面上标一单点，使球面的对称群减少到O（3）的（非正规）子群O（2）：这个群表示球面绕原点与这个单点连线为轴的转动。（d）如果在球面上标以正多面体（这里是正十二面体）的顶点，则其对称群是O（3）的有限（非正规）子群。

正规群之所以重要的一个原因是，如果群G有非平凡正规子群，那么我们可将G剖成一系列较小的群。假定S是G的正规子群，那么由各个不同的S g组成的集合（这里g取遍G中所有元素）本身构成一个群。注意，对某个给定集合S g，g的选取通常不唯一，我们可以有S g1 =S g2，这里g1，g2为G中不同元素。对任一子群S，形S g的集合称为G的陪集。若S是正规群，则陪集构成一个群。原因是，如果我们有两个这样的陪集S g和S h（g和h均为G的元素），则可将二者的“积”定义为

（S g）（S h）=S（gh），

易知，只要S是正规群，那么所有群公理皆满足，因为上式右边有定义且不依赖于方程左边各陪集表达式里g和h的选择。**〔13.8〕按这个方式定义的合成群称为G对其正规子群S的商群，记为。对于由相异陪集S g组成的商空间（不是群），我们往往也写成，即使S不是正规子群。**〔13.9〕

没有非平凡正规子群的群称为单群。群SO（3）就是单群的一个例子。显然，单群是构建群理论的基本材料。19世纪和20世纪里数学发展上的巨大成就之一就是找到了所有有限单群和所有连续单群。对于连续单群（即李群）这个纯数学领域的研究，始于对数学产生过巨大影响的德国数学家威廉·基灵（Wilhelm Killing，1847～1923）的工作。按伟大的几何学家和代数学家艾利耶·嘉当（我们曾在第12章里遇到过他，以后在第17章还会再次与他相会）的说法，基灵在1888～1890年间发表的这方面的基础性论文，以及他在1894年完成的将群理论基本建立起来的论文，是迄今为止最重要的数学论文之一。[5]即使到今天，分类研究仍然是数学和物理各学科领域内一项重要的基础性工作。基灵的工作证明，存在4族连续单群，即Am，Bm，Cm和Dm（m=1，2，…），其相应的维数分别为m（m+2），m（2m+1），m（2m+1）和m（2m－1），我们称之为典型群（见§13.10节末）；另有5种例外群E6，E7，E8，F4和G2，其维数分别是78，133，248，52和14。

有限单群的分类更为困难，完成的时间也离我们更近些，这是20世纪里一大群数学家历经多年（尤其是最近借助计算机）才在1982年最终得以完成的一项成果。[6]有限单群同样存在一些系统的有限单群族和有限个例外有限单群。其中最大的例外群是大魔群，其序为

=808017424794512875886459904961710757005754368000000000

=246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71

在当代理论物理的许多领域，例外群特别受青睐。在弦论中，E8群起着特别重要的作用（§31.14），另外一些学者则对巨大但有限的大魔群在未来理论表述中所起作用寄予厚望。[7]

单群的分类是一般群分类研究中的重要一步。如上所述，一般群总可以用单群（加上阿贝尔群）构建出来。当然，这还不是事情的全部，因为要从单群构造出另一个群我们还需要进一步的信息。这里我不想深入到其中的细节，只打算用最简明的例子说明一下其构造过程：设G和H是两个群，二者可合成为所谓积群G×H，其元素为数偶（g，h），这里g属于G，h属于H，G×H的两元素（g1，h1）和（g2，h2）之间的乘法规则定义为

（g1，h1）（g2，h2）=（g1g2，h1h2），

易证这里群公理皆满足。粒子物理里的许多群实际上都是单群的积群（或这类积群的简单调整型）。*〔13.10〕