第十三章 对称群

13.1 变换群

具有对称性的空间概念在现代物理里极为重要。为什么这么说呢？我们可能会认为，完全精确的对称不过是某种例外，或说是某种出于方便的近似。虽然像正方形或球面这样的对称性作为理想化的（“柏拉图的”；见§1.3）数学结构的确是一种客观存在，但我们通常是将其物理原型视为这种柏拉图理想物的粗略表示。因此，世界上并不存在严格意义上的实际对称体。但从高度成功的20世纪物理理论这一明显事实可知，所有物理相互作用（包括引力）都与这样一种概念相一致，严格说来这一概念是建立在具有对称性的物理结构基础上的，即使从基本描述上来说，这种对称性也完全称得上是严格的！

这个概念指的是什么？这是一种人们称之为“规范联络”的概念。单就这个名称本身来说，我们获知不多，但这却是个十分重要的概念，它将引领我们找出应用于流形一般对象上的那种精妙的（“容易犯糊涂的”）微分概念（这些对象比诸如p形式等概念更为一般，它们从属于外微分范畴，见第12章里的描述）。我们将用本章后的两章来讨论这些流形上的一般对象。作为预先准备，本章里我们先探讨对称群这一基本概念。这个概念在物理，化学和晶体学等领域有着重要应用，对于数学本身的许多领域里也极为重要。

我们先举个简单例子。譬如说正方形的对称是指什么？我们可以有两种不同的答案，具体要依据我们是否允许正方形的取向发生翻转（即正方形翻个个儿）而定。我们先来考虑不允许取向发生翻转的情形。这时正方形的对称性是指正方形在其所在平面内转过若干个90°的结果。为方便起见，我们可像在第5章里那样，用复数来表示这些转动。将四方形的四个顶点取为复平面上的点1，i，－1，－i（图13.1（a）），这样，基本转动可由乘以i（即“i×”）来表示。i的不同幂代表了所有的转动，它们可划分为如下四种（图13.1（b））：

i0=1，i1=i，i2=－1，i3=－i

第四种幂i4=1回到初态，因此不会有更多的元素了。这四种元素的两两乘积也是这四个元素之一。

这四个元素为我们提供了群的简单例子。群由一组元素和定义在这组元素的数偶（表记为符号并置）上的乘法律构成。这些元素满足乘法结合律：

a（bc）=（ab）c；

群中存在单位元1，使得

1a=a1=a；

对群中每一个a，对存在其逆a－1，使得***〔13.1〕

a－1a=aa－1=1。

使一物体（不必是正方形）回到自身原状态的对称运算总是满足这些代数律，我们称这些代数律为群公理。

回忆一下我们在第11章里推荐的约定，即在积ab中，我们认为是先行b运算，再行a运算。我们可将ab视为作用到其右边对象的算符，这样，对物体Φ施加的对称作用，姑且设为b，可写作Φb（Φ），跟着a作用写成b（Φ）a（b（Φ））。二者合成后即为Φa（b（Φ）），或简写为Φab（Φ）。单位元的作用相当于使物体保持原状态不变（显然这总是一种对称作用），元素的逆相当于对给定对称性的逆作用，使物体回复到原状态。

在上述正方形的非镜向反射转动这个具体事例里，ab还满足交换律

ab=ba。

具有这种交换律的群称为阿贝尔群，用以纪念不幸短命的挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802～1929）[1]。显然，满足复数乘法的群一定是阿贝尔群（因为单个复数的乘法总是可交换的）。我们已在第五章结尾见过这种群的另一个例子，即由单位1的第n个根生成的有限循环群Zn。*〔13.2〕

现在我们来考虑允许正方形取向作镜像反射的情形。我们仍用复数来表示这个正方形，只是要增加一种新运算，暂且记为C，即复共轭运算。（它使正方形关于水平线翻转，见§10.1里的图10.1。）我们发现（图13.1（c）），存在如下“乘法律”：*〔13.3〕

Ci=（－i）C，C（－1）=（－1）C，C（－i）=iC，CC=1

（这里[2]包括今后，我将把（－i）C写成－iC，余类推）。事实上，我们仅从这些基本关系即可得到整个群的乘法律：**〔13.4〕

i4=1，C2=1，Ci=i3C，

由上面最后一个式子可知，这个群是非阿贝尔群。群内相异元素的总和称为群的序。具体到这个例子，群的序为8。

现在我们考虑另一种简单情形，即普通球面的旋转对称群。类似前述，我们先考虑非镜面反射的情形。这时对称群有无限多个元素，因为我们可在三维空间里绕任意轴转过任意角来得到对称性，这个对称群实际上构成某种三维空间，即第12章里记为R的三维流形。这里我们为这个群（三维流形）起一个正式的名称，叫SO（3）群，[3]它是三维空间里非镜面反射的正交群。如果我们现在将反射包括进来，那么将得到一组全新的对称——称得上是另一种三维流形——它与前述的非镜面反射的SO（3）群不连通，或者说这是一种涉及球面取向翻转的对称。这个群的所有元素同样构成三维流形，但这是一种非连通的三维流形，它由两个分离的连通分支组成（图13.2）。整个群空间称为O（3）。

这两个例子展示了两类最重要的群：有限群和连续群（或称为李群，见§13.6）。[4]虽然二者之间存在很大差别，但也有许多重要的共同性质。