1.4.1 极限的四则运算法则
定理1-4 在同一个变换过程中，如果lim f(x)=A，lim g(x)=B，则
（1）lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±lim g(x)=A±B；
（1-31）
（2）lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·lim g(x)=A·B；
（1-32）
（3）
。
（1-33）
由以上定理可以得到下面的推论：
推论1-3 如果有限个函数f1(x),f2(x),…,fn(x)的极限都存在，则有
（1）lim[f1(x)±f2(x)±…±fn (x)]=limf1(x)±limf2(x)±…±lim fn (x)；
（1-34）
（2）lim[f1(x)·f2(x)·…·fn (x)]=limf1(x)·limf2(x)·…·lim fn (x)。
（1-35）
推论1-4 如果函数f(x)的极限存在，k为常数，n为正整数，则有
【例1-20】 计算
。
解：
【例1-21】 计算
。
解：因为分母
，所以可以使用极限的除法法则，
【例1-22】 计算
。
解：因为分母
，所以不能直接使用极限的除法法则。注意到分子有
，分子和分母有公因子(x-1)。根据极限定义，x→1是指x无限趋近于1但x≠1，所以可以因式分解后约分，消去公因子。
定义1-14 如果当x→x0（或x→∞）时，函数f(x)和g(x)都趋近于0或者无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在。通常把这类形式的极限叫作未定式，并记为
型或
型。
由于未定式不满足前提条件，无法直接代入极限的四则运算法则求解，需要先进行代数恒等变形，满足前提条件后，再代入极限的四则运算法则求解。
【例1-23】 求极限
。
分析：分母
，所以不能直接使用极限的四则运算法则，因为
0，所以原式是一个
型未定式。函数
是无理函数，考虑使用有理化进行恒等变形。
解法一：将分子、分母同时乘以共轭因式，
解法二：将无理部分变量代换，令
，则x=t2-1，t→1。
【例1-24】 求
。
分析：此例中，分子、分母在x→∞过程中的极限均不存在，所以不能直接利用商的极限运算法则。注意到
，但是
，所以可以将分子、分母同时除以x的最高次幂（即x5），使之各部分极限存在，再做进一步的计算。
解：
。
【例1-25】 求极限
。
分析：与上一个例题类似，考虑将其中的xp转化为
，使之极限存在，所以将分子、分母同时除以x的最高次幂x3。
解：
。
一般地，如果an, bm为不等于0的常数，当x→∞时，有：
