1.4　等可能概型

本节介绍等可能概型，包括古典概型和几何概型。

1.4.1　古典概型

称随机试验的概率模型为古典概型，它的样本空间满足以下条件：

（1）只有有限个样本点。

（2）每个样本点发生的可能性都一样。

如果古典概型的样本点（基本事件）的总数为n，事件A包含的样本点个数为m个，则A的概率为

由式（1-9）计算的概率称为事件A的古典概率。

【例1-9】　从0~9中可重复随机抽取4个数，求下列事件的概率：

（1）4个数全相同。

（2）4个数全不相同。

（3）4个数中2出现了两次。

解：因为数可以重复取，所以基本事件总数n=104。

（1）设A={4个数全相同}，则A中包含的基本事件数m=10，由古典概型定义，有

（2）设B={4个数全不相同}，则B中包含的基本事件数m=10×9×8×7=5040，由古典概型定义，有

代码如下：

     #第1章/1-4.py
     from scipy.special import perm
     result = perm(10, 4)/10 ** 4
     print(result)

输出如下：

     0.504

（3）设C={4个数中2出现了两次}，则C中包含的基本事件数，由古典概型定义，有代码如下：

     #第1章/1-5.py
     from scipy.special import binom
     result = binom(4, 2) * 9 ** 2/10 ** 4
     print(result)

输出如下：

     0.0486

【例1-10】　设有p个人，每个人被等可能地分配到N个房间中的一间，求下列事件的概率：

（1）某指定的p个房间中各有一人。

（2）恰有p个房间，每间各有一人。

（3）某指定的一间房中恰好有q个人。

解：因为每个人都可以分到N间房中的任意一间，所以p个人共有Np种，即n=Np。

（1）设A={某指定的p个房间中各有一人}，则A中包含的基本事件数m=p！，由古典概型定义：

（2）设B={恰有p个房间，每间各有一人}，则B中包含基本事件数！，由古典概型定义：

（3）设C={某指定的一间房中恰好有q个人}，则A中包含的基本事件数m=，由古典概型定义：

【例1-11】　在1~1000中随机抽一个数，它既不能被2整除，也不能被5整除的概率是多少？

解：设A={不能被2整除}，B={不能被5整除}，则

代入数据，，0.1，故所求概率为P（A∩B）=1-[0.5+0.2-0.1]=0.4。

古典概型经常牵涉排列组合的计算，对于较为复杂的排列组合，用Python计算更简单，代码如下：

     #第1章/1-6.py
     #排列数与组合数的计算
     from scipy.special import comb, perm
     N = 20
     k = 10
     #计算排列数
     print(perm(N, k))
     #计算组合数
     print(comb(N, k))

输出如下：

     670442572800.0
     184756.0

1.4.2　几何概型

称随机试验的概率模型为几何概型，其满足下面两个条件：

（1）样本空间S是一个可度量的有界区域。

（2）每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入S的某一可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关。

在几何概型随机试验中，如果A是样本空间S的一个可度量的子区域，则事件A的概率为

由式（1-14）计算得出的概率称为A的几何概率。

【例1-12】　在区间（0，1）中随机地选取两个数，求这两个数之差的绝对值小于0.5的概率。

解：设两个数分别是x和y，由题意（x，y）的取值范围是正方形区域D={（x，y）：0＜x＜1，0＜y＜1}。又因为|x-y|＜0.5，则满足此条件的区域如图1-2所示。

因此所求的概率为

【例1-13】　随机地向半圆内投掷一点，点均匀地落在半圆内的任何一个区域，求该点和原点连线与x轴的夹角θ≤π/4的概率。

解：由题意，半圆与直线y=x的交点坐标为（a，a），则线段OA以下的半圆部分满足与x轴的夹角小于π/4的条件，因此所求的概率为

几何概率示意图如图1-3所示。

图1-2　例1-12示意图

图1-3　例1-13示意图