1　行列式

1.1　行列式的定义

1.1.1　二阶与三阶行列式

下面,从求解二元一次方程组的问题中引出二阶行列式的定义.

例1　求解二元线性方程组,即

解　应用加减消元法,在a11a22-a12a21≠0时得到

观察发现,方程的解x1、x2一般表达式中,分母都是“a11a22-a12a21”.

为方便记忆和书写,引入记号和规定运算,称为二阶行列式,即

(1-1)

其中,每个数aij(i,j=1,2)称为该行列式的元素.二阶行列式,共有个元素.元素的第一个下标i表示该元素在行列式的行序,第二个下标j表示元素的列序,任一元素aij可以通过其行序与列序唯一交叉确定其在行列式中位置.显然,二阶行列式的值为2!个项的代数和,且可以视为左上角与右下角乘积减去右上角与左下角乘积,称对角线法则,也称萨鲁斯法则.

例2　利用对角线法则计算二阶行列式的值.

①②

解　由二阶行列式的对角线法则,得到

①

②

与二阶行列式类似,三阶行列式也是从求解三元一次方程组的问题中引出的.这里,我们直接给出其定义.

由32=9个数,排成三行三列的式子,并规定:实线上元素的乘积前加正号,虚线上元素的乘积前加负号,称为三阶行列式的对角线法则,如图1-1所示.

这样规定的记号和运算,即称为三阶行列式,即

(1-2)

显然,三阶行列式的值为3!=6个项的代数和.

例3　计算行列式的值.

解　利用对角线法则得到