§1.2　行列式的性质

尽管在行列式定义中给出了计算行列式的具体方法,但工作量是很大的,因此有必要寻找计算行列式的其他方法．

根据§1.1的讨论可知,三角形行列式的计算非常简单,能够立即得到结果．于是,计算行列式的思路之一就是将所计算的行列式通过恒等变形化为三角形行列式,其依据就是行列式的性质．

考虑三阶行列式

若将第1行与第2行交换,得到行列式

若将第1行乘以数k,得到行列式

若将第1行的k倍加到第2行上去,得到行列式

从上面观察得到的结论,可以证明对于n阶行列式在一般情况下也是成立的,行列式具有下列性质:

性质1　交换行列式的任意两行(列),行列式变号;

性质2　行列式的任意一行(列)的公因子可以提到行列式外面;

性质3　行列式的任意一行(列)的k倍加到另外一行(列)上去,行列式的值不变．

自然会提出这样的问题:在什么情况下,行列式的值一定等于零．作为行列式性质的推论回答了这个问题．

推论1　如果行列式有一行(列)的元素全为零,则行列式的值一定等于零;

推论2　如果行列式有两行(列)的对应元素相同,则行列式的值一定等于零;

推论3　如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值一定等于零．

例1　已知三阶行列式,求三阶行列式的值．

解:三阶行列式

例2　已知三阶行列式＝3,求三阶行列式的值．

解:三阶行列式

例3　已知三阶行列式,求三阶行列式的值．

解:三阶行列式

例4　已知三阶行列式,求三阶行列式

的值．

解:三阶行列式

例5　填空题

四阶行列式

解:由于所给四阶行列式

中第4列与第1列的对应元素成比例,所以四阶行列式

于

是应将“０”直接填在空内．

有一些比较简单的行列式,应用行列式的性质,很容易把它们化为三角形行列式,因而迅速得到它们的值．

例6　单项选择题

已知四阶行列式,则元素a＝(　　)．

解:计算四阶行列式

再从已知条件得到关系式8a＝1,因此元素

这个正确答案恰好就是备选答案(d),所以选择(d)．

例7　填空题

四阶行列式

解:计算四阶行列式

于是应将“－1”直接填在空内．

例8　计算四阶行列式

解:四阶行列式

例9　计算四阶行列式

解:四阶行列式

对于元素为字母的情况,也同样可以应用行列式的性质求解．

例10　计算四阶行列式

解:四阶行列式

例11　计算四阶行列式

解:在所求四阶行列式中,注意到主对角线上元素皆为x,其余元素皆为a,因而每列的4个元素由1个x与3个a构成,其和皆为x＋3a．所以四阶行列式

计算一些非常简单的n阶行列式,关键在于弄清楚元素构成的规律．

例12　计算n阶行列式

解:在所求n阶行列式中,元素构成的规律是:主对角线上n个元素中除1个元素为1外,其余元素皆为零,而对角线以外的元素全为1．所以n阶行列式