2.2.2 静止液体微分方程的推导

设压力是空间位置的函数，即

p=f (x,y,z)

当空间位置坐标有增量时，压力有相应的增量，即

在密度为ρ的静止液体中选取一个单元液体，其中心点为A（x，y，z），边长分别为dx、dy、dz，如图2-3所示。该单元液体的单位流体质量力的分量分别为X、Y、Z，流体质量力在x、y、z轴方向的分力分别是Xρdxdydz、Yρdxdydz、Zρdxdydz。

图2-3 单元液体受力分析

在y轴方向，根据静力学平衡方程

∑F_y=0

可得

整理得

同理，可得x轴方向和z轴方向的静力学平衡方程。整理后，可得

式（2-9）所示方程称为静止液体的平衡微分方程，也称为欧拉平衡微分方程。其物理意义表示在静止液体中，作用在单位体积液体上的质量力与作用在该液体表面上的压力相平衡。用dx、dy、dz分别乘以式（2-9）中的3个式子后相加，整理可得

式（2-10）为欧拉平衡微分方程的综合表达式，液体在不同质量力作用下的压力分布规律，均可由它积分得到。