1.1.1　定义

回顾一下，Rⁿ→Rⁿ的线性应用矩阵的第j列表示标准基下的第j个向量e_j的投影（见图1.1），因此在R²平面上，角θ的旋转矩阵表达式由下式给出：

图1.1　平面内角度θ的旋转

关于空间R³内的旋转（见图1.2），指定其旋转轴相当重要。在此区分如下三种主要的旋转：绕O_x轴旋转、绕O_y轴旋转和绕O_z轴旋转。

图1.2　空间R³内不同视角的旋转变换

相应的旋转矩阵分别表示如下：

现在我们回顾一下旋转的标准定义。旋转就是一个线性变换，该线性变换是一个等距算子（换句话说，它是保持内积的）和正的（它不会改变空间朝向）。

定理：一个矩阵R是旋转矩阵，当且仅当满足：

证明：R是保持内积的，如果对于Rⁿ内的任意u和v，都有：

因此，R^TR=I。关于某个平面的对称性，以及其他所有的非正常等距算子（改变空间朝向的等距同构，例如反射）也能验证性质R^TR=I。条件detR=1将其限定于直接等距算子之中。