2.3　反馈线性化方法的原理

2.3.1　原理

在此，将对前一小节所述方法进行概述。考虑如下所示的非线性系统：

式中，输入和输出变量的数量都等于m。反馈线性化方法的理念就是利用一个形如u=r（x，v）的控制器去转化系统，其中v为m维的新输入变量。这种转化需要满足系统的状态易于获取的条件，如果不满足，则需在非线性的情形下建立一个观测器，这是非常困难的。在假设状态变量易于获取之后，向量y将不再是一个真正的输出，而是期望变量的向量。

为了实现该转化，需要将每个y_i的连续阶导数表示为关于状态变量和输入变量的方程。一旦输入变量出现在微分表达式中，便停止求导，如此便可得到如下形式的方程：

式中，k_i表示为了使式中出现输入变量需对y_i进行求导的次数（为更好地理解，可参照前一节所给示例）。前提条件是矩阵A（x）是可逆的，则该转化式为：

式中，v为新输入变量（见图2.2），如此形成了一个m入m出的线性系统S_L，如下述微分方程所示：

图2.2　非线性系统转化后变为线性可解耦的，因此易于控制

该系统是线性的且是完全解耦的（即每个输入v_i仅对应一个输出y_i）。因此，利用标准的线性方法很容易实现控制。在此，所要控制的系统由解耦的积分链组成；并将用到m个PID控制器，其原理已在2.1节给出。需注意的是，为了使用该类控制器，必须得到输出变量的导数。假设系统的所有状态变量x_i都较易获得，那么利用状态方程可以很容易获得这些导数关于x_i的表达式。

注释　如果机器人的输入多于必要输入，即dim u＞dim y，则将其称为冗余机器人。在这种情况下，矩阵A（x）是矩形的。为了应用式（2.8）所示变换，可使用广义逆矩阵。如果A满秩（即等于dim y），则该广义逆矩阵为：

因此可得：

这种情况与正方形机器人（即非冗余机器人）的情况相同。