1.4.2　四旋翼建模

图1.8　四旋翼（有关此图的彩色版本，请参见www.iste.co.uk/jaulin/robotics.zip）

以一个四旋翼为例（见图1.8），建立其动力学模型。该机器人有四个可以独立调节的螺旋桨，通过改变螺旋桨的速度来控制机器人的姿态和位置。

在此区分了前/后螺旋桨（蓝色和黑色）、顺时针旋转和右/左螺旋桨（红色和绿色）、逆时针旋转。第i个螺旋桨产生的力的值与转子速度的平方成正比，即等于β·w_i·|w_i|，式中β为推力系数。用δ表示阻力系数，用表示任意转子到机器人中心的距离。机器人产生的力和力矩为：

式中，τ₀为螺旋桨产生的总推力；τ₁，τ₂，τ₃为螺旋桨转速差异所产生的转矩。

四旋翼的状态方程为：

式中，p为位置，并且（φ，θ，ψ）是机器人的欧拉角。前三个方程（i）、（ii）、（iii）对应于已经推导出来的运动学方程（见式（1.12））。注意，在方程（iii）中，加速度（在机器人坐标系中表示）由牛顿第二定律得到，合力由τ₀和重量mg组成：

因为重力向量是在惯性系中自然表达的（与力τ₀相反），则须用欧拉旋转矩阵R^T（φ，θ，ψ）乘以重力向量。方程（iv）由欧拉旋转方程（1.15）推出：

式中，τ_r=（τ₁，τ₂，τ₃）为转矩向量。

该关系是从惯性坐标系中得到的，但却表示在机器人坐标系内，由该关系可得ma_r=R^Tf，用另一种形式表示为：

因此，可得切向加速度（将其作为运动学模型的一个输入）是一个关于施加于机器人上的力的代数方程。