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5.1 实模态分析
模态分析提供了将多自由度系统的动力学方程转变到模态坐标qi的方法。在实模态分析中,模态特征值与振型向量均为实数。同时,动力学方程需要满足一定的阻尼条件才能进行实模态解耦。下面通过一些简要公式来阐述这些问题。
5.1.1 基本方程
结构动力学响应在模态空间中的分解,可以将模态坐标qi合并成列向量q={q1,q2,q3,…}T,q即模态坐标,也称为广义坐标。将模态振型向量{φi|i=1,2,3,…}合并成矩阵形式,Φ=[φ1,φ2,φ3,…],模态振型矩阵Φ为所有特征向量φi的集合。
那么位移u的时域及频域表达式(4-16)可写成矩阵形式:
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将式(5-1)代入频域动力学方程式(4-14),并在方程两侧同时乘以ΦT,得到

这是模态空间下的频域动力学方程。其中:
1),称为模态/广义质量矩阵。
2),称为模态/广义阻尼矩阵。
3),称为模态/广义刚度矩阵。
4),称为模态/广义激励力 (列)向量。
在模态空间中,各个模态坐标qi的运动是相互独立的。因此,式 (5-3)中的矩阵、
、
必须都是对角矩阵,

式中,{i=1,2,…}为模态阶次,最大的模态阶次与有限元中的自由度总数相等;为模态质量;
为模态阻尼;
为模态刚度;diag()表示仅矩阵主对角线元素不为零的对角矩阵。
实模态分析的核心问题是如何获取满足式(5-4)的模态矩阵Φ。如果矩阵M、C、K是任意的,并不一定能找到满足该要求的解。事实上,只有M、C、K为对称矩阵,且阻尼C满足一定条件时,才满足实模态的要求。
5.1.2 模态振型及频率
实模态振型最初是从无阻尼结构中推导出来的。忽略外激励的作用,频域动力学方程简化为
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这是一个典型的广义矩阵特征值问题,可求得实特征值λi和实特征向量φi。特征值λi对应于结构的固有频率ωi,特征向量φi对应于结构的模态振型。

由于任意特征向量φi在缩放任意倍数后依然满足式(5-6),因此为保证模态振型数值的唯一性需要规范化特征向量。在OptiStruct中默认采用“广义质量归一化”的方式决定模态振型的数值,即

采用质量归一化标准后,模态质量矩阵变为单位矩阵,模态刚度矩阵变为
的对角矩阵。

于是,无阻尼结构的动力学方程简化成

图5-1所示为典型模态分析在.fem文件中的工况定义。一般只需要在工况定义中设置模态分析方法卡片METHOD,以及对应的结构边界条件SPC。如果分析的是自由结构的模态,那么SPC字段也是不需要的。

图5-1 模态分析的工况定义
用OptiStruct进行模态分析后,可在输出的.out文件中找到图5-2所示的结果。其中列出了各阶模态对应的固有频率(以Hz为单位)、特征值、广义刚度、广义质量。
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图5-2 OptiStruct模态分析.out文件输出(特征值部分)
5.1.3 比例阻尼
除了无阻尼结构以外,比例阻尼结构也满足实模态解耦。比例阻尼即阻尼矩阵是质量与刚度矩阵的线性组合形式,通常指的是瑞利(Rayleigh)黏性阻尼。在OptiStruct中,比例阻尼是通过参数PARAM,ALPHA1与PARAM,ALPHA2进行定义的。
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比例阻尼结构的模态振型矩阵Φ与无阻尼情形的计算结果是完全相同的,这可由比例阻尼的定义得到。此时,模态阻尼矩阵依然为对角矩阵。

因此在模态空间的动力学方程依然是解耦的。时域方程表达为

或

频域方程表达为

或

代入单自由度简谐激励振动的频域解,,
=1,
,于是各阶模态的阻尼<para-pc>比为

各阶模态的振动频率为

这里ωi_d的下标d表示damping,意为含阻尼时结构的振动频率。
需要注意的是,如果在OptiStruct中采用比例阻尼进行仿真,那么各阶模态的阻尼比是不相同的。从式(5-14)可知,随着模态频率ωi的数值变化,阻尼比ζi是变化的。在模态频率比较高时,模态阻尼比ζi与模态频率ωi近似为线性增长的关系。
5.1.4 结构阻尼
采用全局结构阻尼的动力学方程也是满足实模态解耦的。所谓结构阻尼,是一种因位移产生的能量耗散,有别于因速度产生能量耗散的黏性阻尼。OptiStruct中定义的全局结构阻尼也是一种比例阻尼:

式中,g是一个自定义常数。
将这种形式的阻尼矩阵代入时域及频域动力学方程,得到

可以看到,时域方程中是一个随激励频率ω变化的矩阵,而在频域方程中,阻尼合并到刚度项,成为一个复刚度矩阵(1+j·g)K,与激励频率ω无关。因此,在OptiStruct中定义结构阻尼有些特殊。在频率响应分析类型中,只需要采用PARAM,G定义参数g即可;而在瞬态响应分析类型中,需要额外采用PARAM,W3定义式(5-17)中的参数ω。
将式(5-17)与式(5-18)在实模态空间Φ中进行表示。此时,时域方程为

频域方程为

可求解式(5-20)中每一阶模态的复数方程,得到对应的特征值:

其中

式中,ωi_d为结构阻尼情形下的振动频率,ωi_d略大于ωi;gs为各模态坐标的阻尼系数,该数值在OptiStruct复模态分析输出的.out文件中表示为“damping”;ζi为将结构阻尼等效为黏性阻尼时的阻尼比。在小阻尼情况下,gs≈g,ζi≈g/2。因此,如果采用PARAM,G的全局结构阻尼进行仿真,那么各阶模态阻尼或阻尼比是完全相同的。
图5-3直观地给出了比例阻尼与结构阻尼两种形式的模态阻尼比曲线。可以看到,采用Rayleigh阻尼进行计算时,在极低频和高频段有很大的振动屏蔽效应,而采用结构阻尼进行计算时,各阶模态的阻尼是相等的。

图5-3 OptiStruct模态阻尼比(比例阻尼、全局结构阻尼)
5.1.5 SDAMPING阻尼
除此之外,实模态解耦的情况还存在于SDAMPING阻尼类型,即直接定义各阶模态的阻尼比ζi。
在OptiStruct中,通过TABDMP1卡片定义阻尼比随频率变化的曲线ζ(ω),由工况控制卡片SDAMPING进行选取。这样第i阶模态的阻尼比就可以依靠查表的方式被直接定义为:ζi=ζ(ωi),于是式 (4-17)与式 (4-18)中的广义模态阻尼为=2ζiωi。
采用SDAMPING阻尼方式时,模态振型矩阵Φ与无阻尼情形完全一致,而阻尼比曲线ζ(ω)可以根据试验测试进行标定。在OptiStruct仿真应用中,SDAMPING是最灵活的一种阻尼使用方式。相较于比例阻尼或结构阻尼,它可以更准确地表达阻尼效应。在具备试验测试条件的情况下,推荐采用SDAMPING方式定义有限元模型的阻尼。
5.1.6 刚体模态
有限元方法可求得的模态数目与模型自由度数相等,一般按模态频率从低到高进行求解。结构不被SPC约束时,最低阶模态的频率为0,即不发生振动,此时,结构模态振型为整体性平动或转动,称为刚体模态或零频模态。刚体模态的特征是结构不发生弹性形变,无弹性势能产生。除刚体模态以外,其余的模态频率均大于0,此时结构发生弹性形变,有弹性势能产生,称为弹性模态。
依据上面的定义及描述,刚体模态φ0满足弹性势能为0,即

即无须外力作用,结构就能产生静力位移。刚体模态频率ω0=0,刚度矩阵K非满秩。
一个结构处于无约束的自由状态时,共有6个独立的刚体模态振型φ0,分别对应3个平动和3个转动状态。有限元数值计算中,获取的刚体模态通常为平动和转动的线性组合,且由于数值精度问题,获取的刚体模态频率一般不严格为0。如图5-4所示,刚体模态频率通常远低于第一阶弹性模态频率,可认为近似等于0。
在OptiStruct实际应用中,常利用模态分析的刚体模态数目来检查建模错误。建模正确的情况下,对于充分约束的结构,应当确保不存在刚体模态。而对于完全自由的单个结构,应该确保刚体模态仅为6个。例如,如果出现固支位置遗漏SPC、应相连的部件未进行连接、连接单元刚度为0等情况,那么单个结构的刚体模态数目将大于6,应当通过补充必要的连接以及修正SPC等方式修复模型。

图5-4 OptiStruct模态分析:刚体模态频率
5.1.7 模态有效质量
在OptiStruct模态分析中,可以使用PARAM,EFFMAS,YES,输出模态参与因子、模态有效质量以及模态有效质量百分比到.out文件中。模态有效质量信息可以辅助判断某一阶模态是否为局部模态,模态参与因子被用于冲击响应谱分析。
OptiStruct中的模态参与因子(Modal Participation Factor,MPF)描述的是各阶模态Φ与刚体模态φ0的近似程度。记MPF的符号为p,定义为

由于ΦTMΦ=I,式(5-25)有等价定义形式

式中,Φ即模态振型矩阵;p是一个列向量;φ0特指整体结构的单位刚体位移。这里单位刚体位移φ0的含义是:不论结构是否被约束,均假定在全局坐标系中进行6个自由度的单位刚体位移,即整体结构沿x、y、z轴平动位移1个单位,或绕x、y、z轴转动1个单位弧度。
在这种定义下,结构的刚体质量(Rigid Body Mass)定义为

从中可以知道,φ0取值为平动单位刚体位移时,RBM为一般意义下的结构总质量;当φ0为转动单位刚体位移时,RBM为3个绕全局坐标轴的转动惯量。在OptiStruct中,结构的总质量与绕轴转动惯量也可以用PARAM, GRDPNT, 0输出。
在.out文件中输出的第i阶模态有效质量(Modal Effective Mass)的定义为

输出的第i阶模态有效质量百分比(Modal Effective Mass Fraction)的定义为

因此,如果通过模态分析获取了充足的结构模态阶次,那么

在OptiStruct模态分析中使用PARAM,EFFMAS,YES,可在.out文件中看到图5-5所示的结果,在最后一行SUBCASE TOTAL中记录了当前所有模态的有效质量叠加百分比。分析冲击性载荷作用时,该数值可在一定程度上反映当前的模态分析频段是否足够宽泛,能否提取充足的结构模态来逼近动力学的分析结果。

图5-5 OptiStruct模态有效质量百分比