3.1 正弦信号采样误差分析

当按某一频率对交流正弦信号进行采样时，根据采样间隔T_s与信号周期T的相互关系，可将采样分为整周期采样和非整周期采样。其中，前者满足关系式T=NT_s，N为一个周期内的采样点数，此时，采样截断区间正好等于被测信号周期的整数倍。图3.1和图3.2给出了两种采样的示意图。图中，电压信号频率f₀=50Hz，采样频率分别为F_s1=500Hz，F_s2=510Hz，前者为整周期采样。

从图3.1和图3.2可看出，整周期采样下，采样信号长度与原信号的周期严格相等，时域内无同步误差；同时，延拓的采样信号亦为原始交流信号的采样，即保持了同周期重复关系。相反，在非整周期采样中，出现了同步误差和延拓后的不一致性，造成延拓的采样信号不是原始交流信号的采样。更深层次来讲，对[0，T]内采样等价于对原信号的矩形窗截断，在频域内即为信号频谱与矩形窗频谱的卷积，在整周期采样时，矩形窗的过零点正好对齐离散频点，故而无频谱泄漏，且采样序列的离散傅里叶变换（DFT）谱线是单一的位于ω_k处的谱线，也不会出现栅栏效应，可准确获得信号的离散谱。因此，整周期采样时不会引入采样误差；相反，非整周期采样时则会引入误差，如图3.3所示。

3.1.1 整周期采样误差分析

理论上讲，数字系电能表能计量的谐波次数（最高信号频率）取决于采样频率并满足采样定理。而在工程上，随着谐波次数的增加，电学量的振幅快速衰减，因而仅需考虑有限次数谐波的影响，故可将测量信号视为“带限”信号。以周期电压信号为例，设其最高谐波为M次，其表达式可写为

其有效值的理论计算公式为

由于三角函数在区间[0，T₀]上满足正交关系，故有

现对u（t）以频率F_s=Nf₀采样，则一个周期内的采样点数为N（在满足采样定理条件下应有M≤N/2），采样序列为

离散序列u（n）的有效值计算式为

下面将序列有效值公式进一步推导，定义数字角频率和m次谐波的采样序列为

由于整周期采样、非同次谐波采样序列之间相互正交，即有〈u_m（n），u_k（n）〉=δ_mk，所以：

而：

上式推导过程中应用了周期序列求和关系式：

因此有

结合前述推导，最终有。该结果表明：计算的有效值与理论值相等，即交流信号的整周期等间隔采样不存在误差。

同理，在电参量测量中，都类似于上述电压的周期信号（都可采用FFT分解为正余弦信号），凡是采用数值积分方式进行求解的电参量，在整周期采样情况下同样不存在误差。

3.1.2 非整周期采样误差分析

1.电压、电流有效值误差

以周期电压信号为例，设被测电压信号为u（t）=U_msinωt，有效值为U=。国标GB/T 15945—2008规定，电网频率在[49.8，50.2]Hz之间波动，实际电压频率为f_x，以采样频率f_s等间隔采样，一周内采样N点，设第一个采样点在α处，最后一个采样点在2π+β处，且α≠β，则存在同步误差（弧度）（见图3.4）为

实际采样中的间隔（弧度）为

各瞬时采样点的位置（弧度）为

电压在各点采样的瞬时值为

在一个周期内求电压有效值：

同步误差Δω是很小的数，应用重要数学极限和可求得上式为

电压测量的绝对误差和相对误差为

f为已知量，由上述误差公式可知，工频电压、电流有效值的非整周期测量误差与被测信号频率f_x、采样起始点α和采样点数N有关。

2.功率有效值误差

设被测信号为

一个周期内对电压、电流同时等间隔采样N点，电压、电流信号采样的起始点分别为α_u、α_i+φ，终止点分别为2π+β_u、2π+β_i，同步误差分别为Δω_u=β_u-α_u、Δω_i=β_i-α_i，电流和电压同步采样，Δω=Δω_u=Δω_i，则电压电流瞬时值为

功率理论有效值为

实际测量功率值为

实际测量结果和理论结果相比较，绝对误差和相对误差为

对比电压、电流的误差公式可见，功率误差不仅与被测采样起始点α、采样点数N和信号频率f_x有关，还受功率因数角φ的影响。

3.1.3 仿真分析

1.电压/电流有效值误差影响因素仿真分析

由前述电压测量相对误差公式：

可知，其实质上由多个变量综合影响，包括被测信号频率f_x、采样起始点α和采样点数N。

因此，为研究上述误差影响参量对电压有效值计算的影响，首先从整体考察三个参量变化时相对误差的变化趋势；其次，分别根据外部条件和影响程度，在确立一个参量的条件下，对其余参量进行仿真和分析；最后，在确立前述参量最优的条件下，考察剩余参量对误差的影响。

仿真设定的条件：信号频率f_x∈[49.8，50.2]，采样点N∈[50，512]，采样起始角α∈[0，π/2]。其中，电网频率随着电网实际运行情况变化而产生波动，国标GB/T15945—2008规定，允许其在[49.8，50.2]Hz之间波动；传统采样采用过零点采样，包括上升和下降两个过零点[0，π]，正弦信号情况下相互对称，故采样起始点的范围为[0，π/2]；采样点数应满足奈奎斯特采样定律，同时考虑工程实际，分别选取[50 64 100 128 200 256 400 512]。

整体以上述三个因数为误差影响参量，仿真结果如图3.5所示。

由图3.5可以看出：

1）当被测信号频率为50Hz时，电压有效值相对误差的绝对值相对最小，且不受采样点数（满足奈奎斯特采样定律前提）和采样起始角的影响；当被测信号偏离50Hz时，误差随着频率波动幅值增大而逐渐增大。

2）当采样起始角（即采样起始点在周期左右）在45°～50°附近时，电压有效值相对误差的绝对值相对最较小，且受被测信号频率波动和采样点数的影响较小；当采样起始点逐渐偏离45°～50°这个区域时，误差逐渐增大；在采样起始角接近0°和90°时，误差最大。

3）采样点数不会对电压有效值相对误差绝对值的整体趋势产生影响，即在不同的采样点数情况下，误差整体趋势由采样起始角和被测信号频率波动确定。

由于被测信号频率波动是误差影响的外在条件，且根据上述结果可知，相对于采样起始点和被测信号频率，采样点数对电压有效值相对误差（绝对值）的总体影响程度较小。因此，首先确立采样点数，考察被测信号频率波动和采样起始点对误差的影响，进而得到不同被测信号频率下的最优采样起始角。

被测信号频率波动和采样起始点对误差的影响

图3.6分别为确定采样点下被测信号相对误差随采样起始角和信号频率变化而变化的曲面。由图3.6可知，在不同采样点下，误差的整体趋势一致，但误差较小的采样角区域逐渐变小，相对误差最小时的采样起始角也将减小；从梯度图可看出，当采样起始角在45°～50°附近时，误差小且变化较为缓慢，在采样起始角接近0°和90°时，误差急剧增加。

最优采样起始角

从上述误差曲面中分别找出误差最小时的采样起始角，即“最优采样起始角”。此处遵循上述采样点设置，在9个频点进行仿真，统计结果见表3.1，结果如图3.7所示。

从表3.1和图3.7中可以看出，最优采样起始角会随着采样点数和被测信号频率的波动而改变。当采样点数不变时，非50Hz处的最优采样起始角将随着频率的增大而减小，最大和最小值之间最大相差1.434°；当被测信号频率不变时，非50Hz处的最优采样起始角也将随着采样点数的增大而减小，最大值和最小值之间最大相差3.261°。由此可见，被测信号频率和采样点数对最优采样起始角的选取有着直接的影响。

此处仅是理论上寻找“最优采样起始点”，从实际工程角度考虑，特别是在采样频率设定的情况下，这些“最优采样起始角”将难以确定，给工程应用带来了困难。而易于确定的过零点，从相对误差曲线来看，恰恰是测量误差较大的起始点，因为“过零点”采样时，落在f_x范围内的采样值接近于零，远离被测信号的有效值，故测量误差比较大。故从减小误差的角度考虑，鉴于电网信号的频率是不可控性的，可采取锁相电路来跟踪信号的频率变化，结合采样点数选取合适的采样起始角。

采样点数

采样点数和采样频率密切相关，对于模拟信号的采样，在高精度电测仪表中，为了避免高频干扰的影响，很好地重构被测信号，减小噪声干扰，一般采用较高的采样率。采样率越高，一周内的采样点数就越多，由离散公式求得的结果就越逼近理论值，即理论上讲采样频率越高，越能完全复现出原模拟信号。当被测信号采样起始角为45°、信号频率为49.80Hz时，不同的N对相对误差r绝对值的影响如图3.8所示。

从图3.8可以看出，当一周内采样点数大于12时，相对误差绝对值大于0.1%。由此可见，在确定信号频率且不考虑采样起始点的情况下，采样点数越多，相对误差越小；若已知被测信号频率，应合理选择采样率。实际工程应用中，对于采样点数可根据硬件平台和计量精度来选取。

被测信号频率波动的影响

国标GB/T 15945—2008规定，电网频率允许在[49.8，50.2]Hz之间波动，从前述部分分析可知，电网频率的波动对电压、电流有效值和功率的测量有着很大的影响，此处以512采样点、采样起始角为45°进行仿真，定性分析被测信号频率波动对有效值误差的影响，结果如图3.9所示。

从图3.9可以看出，当信号频率为50Hz时，相对误差绝对值为零；被测信号频率偏离50Hz越多，误差越大；信号频率的变化对相对误差绝对值的影响基本近似线性变化。

2.功率有效值误差影响因素仿真分析

由功率误差公式：

可知，实质上其由多个变量综合影响，包括被测信号频率f_x、采样起始点α、采样点数N和功率因数角φ。

上式与有效值误差相比，影响因素多了一个功率因数角φ，但整体与电压有效值类似，因此其他影响因素在此不再做分析，着重研究分析功率因数角对有功相对误差的影响。选取不同功率因数角，分别为π/6、π/4、π/3、π/2.5，被测信号频率为49.8Hz，采样起始角α∈[0，π/2]，不同功率因数角下有功相对误差曲线如图3.10所示。

从图3.10相对误差曲线可知，被测信号的功率因数角对有功功率的测量也有较大的影响。功率因数角越小，测量的相对误差越大；同时考虑采样起始角的影响，当采样起始角大于60°以后，测量的相对误差随功率因数角的增大而急剧增大；最佳的采样起始点随着功率因数角的增大而减小。根据被测信号的功率因数角及频率，选择合适的采样起始点和采样点数，对提高有功功率测量的精度有着重要的意义。