2.4 缓和曲线
当汽车从直线进入圆曲线时，司机应逐渐改变前轮的转向角，使其适应相应半径的圆曲线。在直线上半径为无限大，在进入圆曲线后半径为R，从直线过渡到圆曲线，汽车的行驶曲率半径是不断变化的，这一曲率半径变化路段即为缓和曲线段。
缓和曲线也是道路平面线形主要要素之一，它是设置在直线和圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。《标准》规定，除四级公路可不设缓和曲线外，其余各级公路都应设置缓和曲线。在现代高速公路上，有时缓和曲线所占比例超过了直线和圆曲线，成为平面线形的主要组成部分。在城市道路上，缓和曲线也被广泛地使用。
2.4.1 缓和曲线的作用
（1）曲率连续变化，便于车辆遵循。汽车在转弯行驶过程中，存在一条曲率连续变化的轨迹线，无论车速高低这条轨迹线都是客观存在的，它的形式及长度与汽车构造、汽车行驶速度、司机转动方向盘的快慢等因素有关。在汽车低速行驶时，司机尚可利用路面的富余宽度把汽车保持在车道范围之内，缓和曲线似乎没有必要。但在高速行驶或曲率急变时，汽车有可能越出自己的车道而驶出一条很长的过渡性轨迹线，这种情况是绝对不允许的。因此，从安全的角度出发，有必要设置一条司机易于遵循的路线，这便是缓和曲线。同时，缓和曲线的设置不仅使线路顺畅，而且能构成美观与视觉协调的最佳线形。
（2）离心加速度逐渐变化，旅客感到舒适。汽车在直线上行驶时，无离心力作用。在曲线上行驶时，要产生离心力，其大小与曲率半径成正比。汽车由直线驶入圆曲线或由圆曲线驶入直线时，由于曲率的突变而带来离心力的突变，对旅客产生侧向冲击力，使旅客有不舒适的感觉。所以应设置缓和曲线以缓和离心加速度的变化。
（3）横向超高坡度逐渐变化，行车平稳。行车道从直线过渡到圆曲线有两个显著变化：由直线上的双坡断面变为圆曲线上的单坡断面；由直线上的正常宽度变为圆曲线上的加宽宽度。上述两个变化要在缓和曲线段完成，使横向超高坡度逐渐变化，避免车辆在行驶中左右摇摆。
（4）与圆曲线配合得当，保证线形美观。如图2.9所示，不设缓和曲线的路线扭曲，设置缓和曲线后路线变得平顺美观。
图2.9 直线和曲线的连接效果
2.4.2 缓和曲线的性质
考察汽车由直线进入圆曲线的行驶轨迹，先假定汽车是等速行驶，司机匀速转动方向盘，则汽车的行驶轨迹可近似推算出来。当方向盘转动角度为φ时，前轮相应转动角度为Φ，它们之间的关系为
式中 k——小于1的系数；
ω——方向盘转动的角速度，rad/s；
t——方向盘转动时间,s。
则汽车前轮的转向角为
如图2.10所示，设汽车前后轮轴距为d，前轮转动Φ后，汽车的行驶轨迹曲线半径为r，则
图2.10 汽车的转弯行驶
由于Φ值很小，tanΦ≈Φ，则
汽车以v（m/s）等速行驶，经时间t（s）以后，其行驶距离（弧长）为l，则
由式（2.15），得
代入式（2.16），得
式中v、d、k、ω均为常数，令
则
式中 l——汽车自直线终点开始转弯，经t（s）后行驶的距离,m；
r——汽车行驶t（s）后在l处的曲率半径,m；
C——常数。
上式说明，汽车匀速从直线进入圆曲线（或从圆曲线进入直线），其行驶轨迹的弧长与曲率半径之积为一常数，这一性质正好与回旋线相符。
回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线。我国《标准》规定缓和曲线采用回旋线。回旋线的基本公式为
式中 r——回旋线上某点的曲率半径,m；
l——回旋线上某点到原点的曲线长,m；
A——回旋线的参数。
由于rl的单位是长度的二次方（m2），为使量纲一致，故令轨迹曲线中的常数C=A2，A表征回旋线曲率变化的缓急程度。A越大，曲率变化越平缓；反之，则变化越急。在回旋线的任意点上，r是随l的变化而变化的，但在缓和曲线的终点处，l=Ls，r=R，则上式可写作：
式中 R——回旋线所连接的圆曲线半径,m；
Ls——回旋线的缓和曲线长度,m。
2.4.3 缓和曲线的技术标准
由于车辆要在缓和曲线上完成不同曲率的过渡行驶，所以要求缓和曲线有足够的长度，以使司机能从容地打方向盘，乘客感觉舒适，线形美观流畅，圆曲线上的超高和加宽的过渡也能在缓和曲线内完成。所以，应规定缓和曲线的最小长度，其计算可以按照以下几个方面来考虑：
1.按照离心加速度变化率计算
以速度v匀速行驶在缓和曲线上的汽车，其离心加速度将随着缓和曲线的变化而变化，若变化得过快，将使乘客有不适的感觉。
式中 v——汽车行驶速度，m/s；
t——汽车在缓和曲线上的行驶时间，s；
R——圆曲线半径，m。
从行车舒适的观点出发，取一个保证乘客舒适的最大的as，可得到在一定的车速和一定圆曲线半径下的最短缓和曲线长度，此时的as称作“缓和系数”，公路上取值as≤0.6m/s3。
由此可推出缓和曲线的最小长度：
式中 V——汽车的行驶速度，km/h。
设计中可根据实际情况选用不同的as值。设计车速较高的道路取较小值，设计车速较低的道路取较大值；平原区取较小值，山岭区取较大值；直通路取较小值，交叉口取较大值。
2.驾驶员的操作及反应时间
在汽车从直线进入圆曲线的转向行驶过程中，驾驶员需要逐渐把方向盘转动一个角度，这一操作过程需要一定的时间，也就是不能因为车辆在缓和曲线上的行驶时间过短而使司机驾驶操作过于匆忙。一般认为汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应有 3s，于是得到：
3.超高渐变率
在超高过渡段上，路面外侧逐渐抬高，从而形成一个附加坡度，这个附加坡度称作超高渐变率。若超高渐变率太大则不利于行车，若其太小又对排水不利。《规范》规定了超高渐变率，由此可导出一个计算缓和段最小长度的公式：
式中 B——旋转轴至行车道（设路缘带时为路缘带）外侧边缘的宽度,m；
Δi——超高坡度与路拱坡度代数差，%；
p——超高渐变率，即旋转轴线与行车道外侧边缘线之间的相对坡度。
4.视觉条件
从视觉连续性的角度出发，希望随着曲线半径的增大，缓和曲线也相应地增长。尤其是当圆曲线半径较大、车速较高时，应特别注意选择适宜的缓和曲线长度，调整线形以适应地形与景观要求，使视觉更为舒适，为此对回旋线参数的最小允许值应作出相应的规定。
根据国外经验，当使用回旋线作为缓和曲线时，回旋线参数A和所连接的圆曲线应保持的关系式一般为
需要说明的是这种关系只适用于R在某种范围之间。根据经验，当R在100m左右时，通常取A=R；如果R小于100m，则选择A等于R或大于R。反之，在圆曲线较大时，可选择A在R/3左右，如R超过了3000m，A可以小于R/3。
一般情况下R/3≤A≤R均成立，将式子两端同时平方，得
把A2=RLs代入并简化后，可以得到
考虑上面各项因素的影响，取满足上述各项要求的最大值（取5的整倍数）就得到了缓和曲线的最小长度Ls（min）。但值得注意的是，该值只是满足各项要求的最小值，在设计中还应综合考虑缓和曲线与相邻平面线形的协调性、与对应的纵面线形的组合关系以及与地形、地物等自然环境的相适应，确定一个更为合理的缓和曲线长度作为设计值，而不应在一条路线上大量采用甚至是全线采用Ls（min）作为设计结果。
5.根据平面线形的组合要求来确定
我国现行《标准》就是按3s行程制定了各级公路缓和曲线最小长度指标，见表2.3。
表2.3 缓和曲线最小长度
2.4.4 缓和曲线参数
设置缓和曲线后，圆曲线半径减小，使圆曲线内移，与缓和曲线相切。设置缓和曲线后，圆曲线对应的圆心角减小到 （α—2β0）。因而设置缓和曲线应满足的条件为：α≥2β0。当α=2β0时，两条缓和曲线直接相连；当α＜2β0时，不能设置规定的缓和曲线 （图2.11）。
设：切线增值为q、内移值为p，则有：
图2.11 缓和曲线与圆曲线的衔接
【例2.1】 某平原区二级公路（新建）上，有一弯道R=250m，与之相对应的Δi=ib=0.06，B=7.5m，p=1/150。交点桩号为JD=K17+568.38，偏角α=38°30′00″，已知设计车速V=80km/h，试计算该曲线上设置缓和曲线后五个主点里程桩号。
解：1.确定缓和曲线长度
（1）根据离心加速度变化率计算：
（2）根据驾驶员操作及反应时间计算：
（3）根据超高渐变率计算：
根据以上条件，计算可得：
（4）根据视觉条件确定缓和曲线长度：
（5）根据线形组合的要求：
综上，取Ls=80m＞70m
2.测设要素计算
曲线内移值p与切线增值q:
3.主点桩号推算
总结主点桩号的计算步骤：
（1）确定缓和曲线长度。
（2）计算曲线要素（要求写出相关计算公式）。
（3）计算主点桩号（要求写出相关计算公式）。
2.4.5 缓和曲线设置与省略
在直线和圆曲线间设置缓和曲线后，圆曲线产生了内移，其位移值为p，由上式可知，在Ls一定的情况下，p与圆曲线半径成反比，当R大到一定程度时，p值将会很小。这时缓和曲线的设置与否，线形上已经没有多大差异。即使直线与圆曲线径相连接也能完成缓和曲线的行驶。一般认为当p=0.10～0.20时，即可忽略缓和曲线。
考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的作用，《标准》规定，以不设超高的最小半径作为设置缓和曲线的临界半径。即在下列情况下可不设缓和曲线：
（1）在直线和圆曲线间，当圆曲线半径大于或等于《标准》规定的“不设超高的最小半径”时。
（2）半径不同的同向圆曲线间，当小圆半径大于或等于“不设超高的最小半径”时。
（3）半径不同的圆曲线间，小圆半径大于表2.4所列半径，且符合下列条件之一时：
表2.4 缓和曲线最小长度
1）小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回旋线时，其大圆与小圆的内移值之差不超过0.10m。
2）计算行车速度≥80km/h时，大圆半径（P1）与小圆半径（P2）之比小于1.5。
3）计算行车速度＜80km/h时，大圆半径（P1）与小圆半径（P2）之比小于2。