2.2 小滑移率或者小侧偏角条件下的单方向附着系数估计方法

2.2.1 基于频响特性的路面附着系数辨识方法

本书提出一种基于电机与车轮耦合特性的路面附着系数估计方法（图2-6），适用于电动车辆行驶过程中路面附着系数的实时监测。鉴于电机与车轮耦合特性中侧向耦合特性尚未公开发表，为了保护其版权，本书中仅介绍纵向耦合特性。它建立轮胎纵向刚度与电动轮共振频率之间的关系，在利用电机转矩获取的共振频率基础上求解出轮胎纵向刚度，然后再利用轮胎纵向刚度与路面附着系数的关系，实现路面附着系数估计。本方法仅采用电机电流与轮速信号，不需要车速与轮胎纵向力信息，不需要计算轮胎纵向滑移率，使得该方法应用方便；利用频域信息进行估计，使得该方法具有对轮速噪声与误差不敏感的特性，也说明了该方法的准确性。

1.轮胎纵向刚度与电动轮共振频率之间的关系

在建立轮胎纵向刚度与车轮共振频率之间的关系时，是按照如下方法实现的：

1）建立单轮动力学模型

式中，I是车轮转动惯量；ω是车轮转速；是ω关于时间的导数；T_d是电机输出转矩；F^D_x是车轮瞬态纵向力；R是车轮滚动半径。

2）建立稳态轮胎模型

式中，是车轮稳态纵向力；k_s是车轮纵向刚度；S是滑移率，不同情况取不同值；F_x0是滑移率为零时的纵向力；v是车辆纵向速度；ω是车轮转速；R是车轮滚动半径。

3）建立瞬态轮胎模型

式中，是车轮瞬态纵向力；是关于时间的导数；τ是时间常数；是车轮稳态纵向力；r_x是轮胎的纵向松弛长度。

4）建立简化电机模型

式中，i_q是电机电流；K是比例常数，通过实验测得或由电机厂商提供；T_d是电机输出转矩。

5）在上述几种车辆模型和简化电机模型的基础上，假设电机转矩由两部分组成，分为恒定部分与高频部分，如下所示：

式中，T₀是恒定转矩，认为是一个相对恒定的值；而T₁sin（2πft）是高频转矩，其中T₁为转矩振幅，f为高频转矩的频率，t表示某一时刻。

6）结合式（2-32），将式（2-36）代入到式（2-32）中，单轮动力学模型可表示为

将式（2-37）两端同时对时间求导，得到式（2-38）：

再将式（2-38）乘以时间常数τ，然后与式（2-37）求和，得出式（2-39）：

结合式（2-33）、（2-34）和三角函数公式，式（2-39）可简化为式（2-40）：

式中，aT₁是合并后高频信号的振幅，φ是合并后高频信号的初始相位。

对于驱动工况，考虑其滑移率定义，式（2-40）可以表示为式（2-41）：

进一步对式（2-41）两端求导，可得式（2-42）：

假设Rω≈v，由于车辆的惯性远大于车轮的惯性，所以车辆的加速度相比车轮的角加速度可以忽略，，式（2-42）可进一步简化为式（2-43）：

令：

式（2-43）可表示为式（2-45）：

对式（2-45）两端作拉普拉斯变换，得到式（2-46）：

式中，λ是拉普拉斯算子。

这样就得到了电机转矩到轮速的传递函数，即式（2-47）：

结合式（2-35）和式（2-47），可以进一步得到电机电流到轮速的传递函数，即式（2-48）：

令λ=j2πf，其中j表示虚部，合并同类项，求模即可得到电机电流到轮速的幅频函数，即式（2-49）：

作如下近似：，当电机车轮系统发生共振时，即有式（2-50）：

应用求极值的方法，得到其最小值对应的频率，即共振频率，见式（2-51）。

2.基于非线性自回归模型附着系数辨识方法

然后在整车控制器获取实时的轮速信号ω和电机的电流信号i_q基础上，利用MATLAB中的nonlinear ARX model模块，输出二阶系统模型传递函数（式（2-52））的系数a₁，a₂，a₃，然后利用式（2-53）找到两个解λ_i（i=1，2）：

式中，λ是拉布拉斯算子；a₁、a₂、a₃是系数。

再按照式（2-53）、（2-54）、（2-55）计算共振频率f₀^[12]：

式中，

上述ΔT为采样时间，Re、Im分别表示数学计算中的实部和虚部。

将式（2-53）取得的f₀代入到式（2-51）中，在式（2-51）的基础上估计轮胎纵向刚度k_s。

在任意时刻，将得到的轮胎纵向刚度输入到路面附着系数估计模块中，计算得到路面附着系数：

式中的系数a_μmax和b_μmax，根据实验数据确定，采用数据拟合的方法得到。

2.2.2 基于非线性系统可观性分析的路面附着系数估计方法

1.非线性系统可观性概念

非线性系统的局部可观性的含义^[14]是，可以根据系统的输入和输出，将某个时刻系统的状态在其邻域中区分出来。与线性系统的可观性不同，非线性系统的可观性和系统的输入在状态空间中的轨迹有关。非线性系统的局部可观性是状态观测器正常工作的前提条件。

非线性系统的局部可观性可以通过计算可观性矩阵的秩来判断。对于给出的非线性系统，其可观性矩阵定义为

这是一个尺寸为mn×n的矩阵，其中的Lie导数（LieDerivative）定义为

如果可观性矩阵O在状态空间的某点x⁰处满秩，则系统在x⁰处局部可观。此外，可以用可观性矩阵O求逆意义下的条件数的大小来判断系统可观性的强弱。矩阵求逆意义下的条件数是该矩阵的最大奇异值和最小奇异值之比，条件数越大，则矩阵可逆性越差，系统在该点的局部可观性越弱。

显然，如果可观性矩阵不满秩，则其条件数为无穷大，系统不可观。当某个被估计参数的估计误差协方差矩阵发生windup（饱和）时，说明这个参数的变化无法反映到系统输出上，此时可观性矩阵对应于这个参数的列上的各元素将近似全为零，可观性矩阵条件数过大，导致系统不可观。因此，系统在某一轨迹上发生windup是系统在这一轨迹上不可观的充分（不必要）条件。

导致不可观的另一种可能是，虽然参数的变化可以反映到系统输出上，但同时估计某些状态和参数时，根据单一时刻的传感器信息无法唯一确定这些状态和参数的值。例如，同时估计横向车速、横摆角速度和轮胎侧偏刚度，传感器信号为横向加速度和横摆角速度，则横向车速和轮胎侧偏刚度的多个组合都可以计算得到同样的横向加速度值。这种情况下，如果系统状态处于不断变化的动态过程中，则可以结合多个时刻的传感器信息，估计出上述状态和参数，但如果系统处于稳态下，则相当于求解不定方程，出现激励不足（Lack ofExci-tation）的情况，导致系统不可观。

通过求出系统在不同状态空间轨迹上的可观性矩阵的条件数，就可以比较在这些轨迹上系统局部可观性的强弱。

2.可观性与轮胎工作点之间的关系

给出的Dugoff轮胎模型中，λ是一个决定轮胎是否工作在轮胎侧向力曲线的线性区的参数：当λ＞1时，N（λ）=1，F_y0=-C_αtanα，轮胎工作在线性区；当λ≤1时，N（λ）=λ（2-λ），F_y=-λ（2-λ）C_αtanα，轮胎工作在非线性区，如图2-7所示。

显然，当轮胎工作在线性区时，路面附着系数并不参与计算轮胎侧向力，系统的状态方程和量测方程对路面附着系数的偏导数为零。其结果就是，在计算可观性矩阵时，如果前轴和/或后轴轮胎工作在线性区，可观性矩阵的最后两列（即与μ_f、μ_r对应的那两列）可能会有一列或者两列的元素全为零，导致可观性矩阵不满秩，条件数趋于无穷大，系统可观性弱。

当轮胎工作在非线性区时，将F_y0对μ进行求导

由于轮胎工作在非线性区时λ≤1，因此λ越小，F_y0对μ导数的绝对值越大，状态方程和量测方程对路面附着系数的偏导数也越大，有利于降低可观性矩阵的条件数，提高系统的可观性。图2-8和图2-9分别给出了路面附着系数初值为1.0和0.6时根据车辆状态估计值计算的各轮胎λ的时间历程。从图2-9中看到，路面附着系数初值为0.6时，在系统可观性较好的13～16s内，四个车轮的λ均远小于1。

λ的大小也同样解释了DEKF修正作用的强弱。当λ＞1时，由于系统的状态方程和量测方程对路面附着系数的偏导数为零，计算的卡尔曼增益就会趋近于零，即使残差ε不为零，路面附着系数的估计值也不能得到修正。图2-10和图2-11给出了路面附着系数初值不同时卡尔曼增益矩阵各元素的大小，从图中可以看出，系统可观性好时（图2-11中13～16 s），卡尔曼增益矩阵各元素比系统可观性弱时大得多。

最后，系统可观性也和windup现象之间存在联系。图2-12和图2-13给出了路面附着系数初值不同时路面附着系数估计误差协方差矩阵P_wk的主对角线上元素的时间历程。当系统可观性弱时，P_wk出现windup现象。

3.利用可观性原理改进路面附着系数估计算法

根据之前的结论，为了使得将状态和参数估计系统在状态空间中沿着一条可观性较好的轨迹运动，应该使得λ总是不大于1。

在λ的表达式中，α、C_α和F_z都是由车辆状态决定的。为了让λ≤1，只能通过适当降低路面附着系数的估计值来实现。制定路面附着系数估计值的调整策略时，应注意以下两点：

1）调整不应过于激进，以防止DEKF对路面附着系数估计值的修正受到干扰。

2）路面附着系数估计值比实际值低可能导致质心侧偏角被高估，这可能导致车辆的稳定性控制系统的误动作，因此在降低路面附着系数的估计值时要有所保留。

也就是说，虽然将路面附着系数估计得较低有利于使λ变得更小和使系统可观性更好，但是限于其他因素的约束，路面附着系数不能估计得太低。在实践中发现，只要使得λ的值在1附近，就可以顺利地对路面附着系数进行估计了。

采用以下策略对路面附着系数的估计值进行调整。在每个轮胎侧偏角大于1°且单个车轮纵向力不超过500 N的时刻：

如果λ^-＞1，那么μ_estimated=μ^-。

这种策略的思路是，在当前时刻，如果路面附着系数的估计值μ_estimated在降低（μ_increment+μ_buffer）后，仍然使得λ＞1，那么就可以将路面附着系数的估计值更新为μ_{estimated，new}=μ_{estimated，old}-（μ_increment+μ_buffer）。其中，μ_increment的大小决定路面附着系数估计值降低的速度，而μ_buffer则用来防止路面附着系数估计值过低。可以想象，当λ＞1时，μ_estimated会随时间不断降低，直至λ=1为止。路面附着系数估计值的调整策略作为对DEKF的补充，和后者共同工作。

将这种策略用于路面附着系数为0.4的双移线工况下估计路面附着系数，μ_increment取为0.01，μ_buffer取为0.1。路面附着系数和车辆状态的估计结果如图2-14和图2-15所示。从图2-14中可以看到，路面附着系数的估计结果在第一次车道变换时就开始在调整策略的作用下迅速降低，同时使系统可观性矩阵的条件数迅速降低，如图2-16所示。从图2-15中可以看到，由于路面附着系数的估计值收敛迅速，横向车速的估计精度也非常高。

路面附着系数估计器在航程中全时运行。在路面附着系数估计器中，使用了一种路面附着系数估计值的调整策略，对标准的DEKF算法进行了改进。