1.3　机构的自由度分析

在设计新的机构或分析一个现有的机构时，应明确给定几个主动件，机构才能有确定的相对运动，因此首先要分析机构的自由度是多少。要使机构实现预期的确定运动，无论是平面机构或空间机构，其自由度F都必须满足：

①F＞0；②F数等于机构的主动件数。

如果F=0，则机构不能运动；F＞0而主动件数与F不等，则机构不能得到预期的确定运动。符合了这两个条件，但由于构件尺寸与运动副配置不当，也有得不到预期确定运动的。

1.3.1　平面机构自由度分析

大多数平面机构的公共约束M=3，其自由度为：

F=3n-2P₅-P₄　　（4-1-1a）

全部由移动副（及螺旋副）组成的平面机构，其M=4，自由度为：

F=2n-P₅　　（4-1-1b）　　

式中　n——机构的活动构件数；

P₅、P₄——分别为五级运动副及作平面运动的高副个数，参照表4-1-2确定。

平面机构自由度分析例题见表4-1-5。

1.3.2　单封闭环空间机构自由度的计算

单封闭环机构是j-n=1的机构。单封闭环空间机构的自由度为：

F=P₅＋2P₄＋3P₃＋4P₂＋5P₁-（6-M）（j-n）　　（4-1-2）

式中　M——各构件共同失去的自由度或各运动副共同得到的有效约束数，称为公共约束数，用割断机架法（表4-1-8）或参考表4-1-7确定；

P₅、P₄、…、P₁——分别为Ⅴ、Ⅳ、…、Ⅰ级运动副的个数；其相对运动自由度依次为1、2、…、5；

j——运动副的总数。

式（4-1-2）只适用于单封闭环机构或由M相同的单封闭环组成的多封闭环机构。计算F时应考虑表4-1-6所列注意事项。

1.3.3　多闭环空间机构及开环机构的自由度的计算

①对于由M相同的单封闭环机构组成的多封闭环机构，其自由度仍可直接用式（4-1-2）计算；

②对于由M不同的单封闭环机构组成的多封闭环机构，其自由度应为机构各构件引入运动副后所留下的自由度减去各环割断机架后末杆的自由度（末杆焊上所失去的自由度）之差，即：

　　 （4-1-3a） 　　

式中　λ_i多闭环机构中第i个单封闭环割断机架后末杆的自由度数λ_i=6-M_i；

i——单闭环的编号；

j-n——闭环数，j=P₁＋P₂＋P₃＋P₄＋P₅；其余符号意义同式（4-1-1）和式（4-1-2）。

③开环机构的自由度计算公式为

　　 （4-1-3b） 　　

1.3.4　空间机构自由度计算例题

（1）拖拉机外轮调整机构（单封闭环机构，图4-1-1）

由表4-1-7查得此机构的M=2，表现为不能沿x轴移动和绕z轴转动：

n=4，j=5，P₅=5

所以　F=1×5-（6-2）×（5-4）=1

（2）割草机割刀机构（单封闭环机构）

1）设取坐标系如图4-1-2，其运动方程式为：

　　

式中　a=l_ABsinα₁-l_BCsinα₂-h

b=-l_BCsinα₂-h

c=l_CDsinα₃＋l_DEsinα₄

d=l_DEsinα₄

e=l_ABcosα₁＋l_BCcosα₂＋l_CDcosα₃＋l_DEcosα₄

f=l_BCcosα₂＋l_CDcosα₃＋l_DEcosα₄

g=l_DEcosα₄

k=l_CDcosα₃＋l_DEcosα₄

2）求系数矩阵的秩：λ=6，即M=6-6=0

3）机构的自由度：此机构中n=4，j=5，P₅=4，P₃=1

∴F=1×4＋3×1-（6-0）×（5-4）=1

（3）谷物收获机的割刀机构（多封闭环机构，图4-1-3）

n=6，j=8，P₃=1，P₅=7，所以j-n=2为空间双闭环机构。

闭环Ⅰ为7-1-2-3-4-7，闭环Ⅱ为7-4-5-6-7。分别求出环Ⅰ和环Ⅱ的λ，由式（4-1-3a）可求出整个机构的自由度。

1）闭环Ⅰ：设取坐标系如图4-1-4，其运动方程式为：

　　

式中　a=l_ABsinα₁-l_BCsinα₂-l_CDsinα₃-l_DEsinα₄

b=-l_BCsinα₂-l_CDsinα₃-l_DEsinα₄

c=l_DEcosα₄

d=-l_DEsinα₄

e=l_ABcosα₁＋l_BCcosα₂＋l_CDcosα₃cosβ

f=l_BCcosα₂＋l_CDcosα₃cosβ

g=l_CDcosα₃sinβ＋l_DEcosα₄

h=l_DEcosα₄

i=l_CDsinα₃＋l_DEsinα₄

j=l_DEsinα₄

经求解此系数矩阵为满秩，即λ_I=6，∴M=0

2）闭环Ⅱ：为一平面曲柄滑块机构，其M=3，λ_Ⅱ=3，由式（4-1-3a）得：

F=1×7＋3×1-（6＋3）=1