2.4 度分布

随机网络中，有些节点有许多链接，有些节点只有少量链接，甚至没有链接（图2-3）。这种差异可以通过度分布pk来刻画，pk表示一个随机选择的节点其度为k的概率。这一节中，我们将推导出随机网络的度分布pk并讨论其性质。

二项分布

随机网络中，一个节点i恰好有k个链接的概率是下面三项的乘积[15]：

（1）k个链接出现的概率，即pk。

（2）剩下(N-1-k)个链接不出现的概率，即(1-p)N-1-k。

（3）节点i的N-1个可能存在的链接中选出k个，选择方式的总数为：

因此，随机网络的度分布服从二项分布：

二项分布的形状取决于网络大小N和链接概率p（图2-4）。根据二项分布（边栏2.3）的性质，我们可以计算出网络的平均度——公式2.3，也可以计算出度分布的二阶矩和方差σk（图2-4）。

泊松分布

大部分真实网络是稀疏的，意味着这些网络的平均度远小于网络大小——N（表1-1）。极限情况下，公式2.7中的度分布可以近似为如下泊松分布（进阶阅读2.A）

公式2.8和公式2.7通常被称为随机网络的度分布。

公式2.7中的二项分布和公式2.8中的泊松分布是在描述同一个量，因此它们有相似的性质（图2-4）：

● 这两个分布都在附近有一个峰值。增加p的值会使网络变得稠密，平均度和度分布的峰值会右移。

● 分布的宽度（离散度）也由p和控制。网络越稠密，分布越宽，节点度的差异也越大。

使用泊松形式（公式2.8）的度分布时需要注意：

● 随机网络度分布的精确形式是二项分布（公式2.7）。因此，公式2.8只是在N的极限情况下对公式2.7的近似。由于大多数真实网络都是稀疏的，上述近似所需的条件通常会被满足。

● 泊松形式的优势是，像、和σk等网络关键特性的形式更简单（图2-4），仅依赖于这一个参数。

● 公式2.8中的泊松分布不显式地依赖节点数目N。因此，公式2.8告诉我们，平均度相同但大小不同的随机网络，其度分布几乎一样。

综上所述，虽然泊松分布只是随机网络度分布的一种近似，但其形式简单，便于分析，因此在刻画随机网络的度分布pk时，人们更倾向于使用泊松形式。本书中，除非特别指出，我们将使用泊松形式（公式2.8）来刻画随机网络的度分布。泊松形式度分布的一个关键特征是，其性质与网络大小无关，仅依赖于平均度这一个参数（图2-5）。