1.8.1　连续函数的概念

我们知道气温是时间的函数，当时间变化不大时，气温的变化也不大；物体运动的路程是时间的函数，当时间变化不大时，路程变化也不大；金属丝的长度是温度的函数，当温度变化不大时，金属丝长度的变化也不大，等等.这些现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.为了描述函数的连续性，下面先介绍增量的概念.

对于函数y=f（x），设自变量x从它的一个初值x0变到终值x1，终值与初值之差x1-x0称为自变量x的增量（或改变量），记为Δx，即Δx=x1-x0.

增量Δx可以是正的，也可以是负的，当Δx为正时，自变量x从x0增加到x0+Δx；当Δx为负时，自变量x从x0减少到x0+Δx.

设函数y=f（x）在x0的某邻域内有定义，当自变量从初值x0变到终值x0+Δx时，函数y=f（x）相应地从f（x0）变到f（x0+Δx），因此，函数y相应的增量为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

注　Δx，Δy是完整的记号.

几何上，函数的增量Δy表示当自变量x从x0变到x0+Δx时曲线上对应点的纵坐标的改变量，如图1-17所示.

函数的连续性的概念可以通过增量来描述，定义如下：

定义1　设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义.如果当自变量x在x0处的增量Δx趋于零时，函数y的对应增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趋于零，即

那么称函数y=f（x）在点x0处连续，点x0称为函数y=f（x）的连续点.

例1　证明函数y=x3+1在x=x0处连续.

证　函数y=x3+1在x=x0处的增量

因为

所以，函数y=x3+1在x=x0处连续.

在定义1中，由

得

设x=x0+Δx，当Δx→0时，x→x0，于是

因此，函数y=f（x）在点x0处连续有如下等价定义：

定义2　设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，且在点x0处的极限值等于函数在该点对应的函数值，即

则称函数y=f（x）在点x0处连续.

注　函数f（x）在点x0处连续，要求函数f（x）在点x0处有定义，但函数f（x）在点x0处极限存在与否与函数f（x）在点x0处是否有定义无关.

利用函数单侧极限的概念可定义函数单侧连续.

定义3　设函数f（x）在点x0的某左邻域内有定义，若，则称函数f（x）在点x0处左连续.

定义4　设函数f（x）在点x0的某右邻域内有定义，若，则称函数f（x）在点x0处右连续.

由定义2，3，4可得函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件.

定理1　函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是函数f（x）在点x0处既左连续又右连续且左右极限相等，即.

例2　讨论函数

在x=0和x=1处的连续性.

解　在x=0处，

由此可知

所以 不存在，函数f（x）在x=0处不连续.

但是，f（0）=2×0+1=1，由 知，函数f（x）在x=0处左连续.

在x=1处，

易知

故 ，而f（1）=12=1，则有 ，所以函数f（x）在x=1处连续.

定义5　如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，那么称函数f（x）在开区间（a，b）内连续.如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，那么称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续.

连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.

例3　证明函数y=sinx在（-∞，+∞）内连续.

证　设x0为（-∞，+∞）内任意一点，当自变量x在x0处取得增量Δx时，对应的函数增量为

因为，而当Δx→0时，，根据有界函数与无穷小乘积是无穷小，得

因此，函数y=sinx在点x0处连续，由于x0的任意性，函数y=sinx在（-∞，+∞）内连续.