1.6.2　两个重要极限

1.

证　首先注意到，函数一切x≠0都有意义，并且当x改变符号时，函数值的符号不变，即是一个偶函数，所以只需对x从右侧趋于零时来论证，即只需证明

作单位圆，设圆心角∠BOC=x，过点B的切线与OC的延长线相交于D，又CA⊥OB，由图1-15知

sinx=AC，x=，tanx=BD.

而

△OBC的面积<扇形BOC的面积<△OBD的面积，

故

即

sinx<x<tanx.

不等号各边都除以sinx（sinx>0），得

从而

这里利用 .

由 ，根据夹逼准则2可得

综上所述， .

例3　求

解　.

例4　求.

解　令u=3x，则当x→0时，u→0，所以

注　如果正弦、正切符号后面的变量与分母的变量相同，且都趋于零，则有

例5　求.

例6　求

例7　求.

解　令u=arcsinx，则x=sinu，当x→0时，u→0，所以

2.

证　第一步：考虑x取正整数n，即x趋于+∞的情形来证明.

设，证明{an}是单调递增并且有界的数列.

由an表达式可知，

比较an与an+1的展开式，可以看到除前两项外，an的每一项都小于an+1的对应项，并且an+1还多了最后一个非零项，因此an<an+1，即{an}是单调递增数列.

又因为都小于1，所以

即数列{an}是单调递增有界数列，根据极限存在准则2，数列{an}的极限存在，将此极限记为e，即 .

第二步：首先考虑当x→+∞时的情形，即证明

设{xn}是趋于+∞的任一单调递增正实数数列，则必存在正整数数列{bn}，使得

bn≤xn<bn+1.

由此可得

又因为

由夹逼准则知

由实数列{xn}的任意性知

对于x→-∞时的情形，采用类似x→+∞时的推导过程，只需令xn=-yn即可，这里不再赘述.

综上所述　　.

注　这个极限也可换成另一种形式.

令，当x→∞时，u→0，于是有

例8　求

例9　求

例10　求.

则

例11　求.

例12　求.

例13　求.

解　令u=ex-1，即x=ln（1+u），则当x→0时，u→0，于是

利用例10的结果，可知上述极限为1，即

例14　求.

解　而

由幂指函数极限的求法，得