2.1　矩阵及其运算

矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念，是本课程讨论的主要对象，它在研究向量组的线性相关性、线性方程组求解以及求二次型的标准形等方面有着不可替代的重要作用.另外，矩阵也是现代科学技术不可或缺的数学工具，它在数学的很多分支及其它相关学科中都具有非常广泛的应用.熟练地掌握矩阵的各种基本运算，并注重矩阵运算的一些特有规律，对学好线性代数所研究的一些基本问题是十分重要的.

2.1.1　矩阵的概念

在我们的日常生活当中，特别是在自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等诸多方面都和某些数表有着密切的联系，我们把这种数表称为矩阵.

定义1　由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的矩形数表

称为一个m×n矩阵.

称数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为矩阵位于第i行第j列的元素.通常我们用大写的英文字母A，B，C等来表示矩阵，比如可以把上面的矩阵表示为

或A=（aij）m×n或A=（aij），m×n矩阵A也记作Am×n，n×n矩阵称为n阶方阵，并简记为An.

在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为副对角线.如果位于主对角线上（下）方的元素全为零，则称该方阵为下（上）三角矩阵.既是上三角矩阵，又是下三角矩阵的矩阵

称为对角矩阵，并简记为A=diag（λ1，λ2，…，λn）.

若对角矩阵A的主对角线上的元素λ1，λ2，…，λn全相等，则称矩阵A为纯量矩阵（或为数量阵）.主对角线上的元素全为1的纯量阵称为单位矩阵，通常用E表示.例如n阶单位矩阵可表示为

显然，n阶纯量阵A=diag（λ，λ，…，λ）=λEn.

元素全为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵.本书中的矩阵如无特别说明外，均指实矩阵.

另外，只有一列的矩阵，即m×1矩阵

称为列矩阵，也称为m维列向量.只有一个行的矩阵，即1×n矩阵

A=（a1，a2，…，an）

称为行矩阵，也称为n维行向量.

两个矩阵的行数和列数分别相等，称这两个矩阵为同型矩阵.如果A=（aij），B=（bij）为同型矩阵，并且aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），则称矩阵A和矩阵B相等，记为A=B.

如果一个矩阵的元素全为零，则称该矩阵为零矩阵.m×n零矩阵记为Om×n或简记为O，注意不同型的零矩阵是不同的.

矩阵有着非常广泛的应用，在19世纪中叶矩阵的概念和理论诞生之前，我国数学家在公元1世纪以前，就已经熟练掌握通过对线性方程组增广矩阵的初等变换方法解线性方程组了，只是没有给出矩阵的概念和有关的理论.下面仅举几例说明矩阵的简单应用.

例1　某种商品有5个产地A1，A2，…，A5和4个销地B1，B2，…，B4，那么商品的调运方案就可以用一个矩阵

来表示，其中aij表示由产地Ai运到销地Bj的数量，i=1，2，…，5，j=1，2，…4.

例2　由n个未知数、m个方程组成的方程组

　　 （1） 　　

中未知数的系数按照它们在方程组中的位置可以组成一个m×n矩阵

　　 （2） 　　

矩阵（2）通常称为方程组（1）的系数矩阵.

在上述系数矩阵（2）中再加上一列，就可得到一个m×（n+1）矩阵

　　 （3） 　　

称矩阵（3）为方程组（1）的增广矩阵.

例3　n个变量x1，x2，…，xn与m个变量y1，y2，…，ym之间的关系式

　　 （4） 　　

是一个从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，ym的线性变换，其中aij为常数.线性变换（4）的系数aij构成矩阵A=（aij）m×n.

2.1.2　矩阵的运算

下面我们定义矩阵的运算，包括矩阵的加法、数与矩阵的乘法（数乘）、矩阵与矩阵的乘法（矩阵乘法）以及矩阵的转置等，这些运算是矩阵最基本的运算.

2.1.2.1　矩阵的加法

定义2　设矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，称矩阵C=（cij）m×n=（aij+bij）m×n为矩阵A与B的和，并记为C=A+B.

由定义2不难看出，矩阵的加法实际上就是矩阵的对应元素相加，当然相加的两个矩阵为同型矩阵.由于矩阵的加法归结为对应元素相加，所以不难验证，它满足下面的运算律.

（1）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C.

（2）交换律：A+B=B+A.

（3）零矩阵O满足：A+O=O+A=A（其中A与O为同型矩阵）.

（4）负矩阵的存在性：对于任意一个矩阵A，都存在一个矩阵B，使得A+B=B+A=O，称矩阵B为矩阵A的负矩阵，记为B=-A.

显然，若A=（aij）m×n，则A的负矩阵-A=（-aij）m×n，由此可定义矩阵的减法为

B-A=B+（-A）.

2.1.2.2　数与矩阵的乘法

定义3　设矩阵A=（aij）m×n，称矩阵（kaij）m×n为数k与矩阵A的乘积，记为kA，即kA=k（aij）=（kaij）.换句话说，用数k去乘矩阵就是把矩阵的每一个元素都乘以数k.

数与矩阵的乘积也称为数量乘积或数乘矩阵，不难验证数乘矩阵满足以下定律.

（1）结合律：λ（μA）=（λμ）A；

（2）分配律：（λ+μ）A=λA+μA，λ（A+B）=λA+λB.

例4　设，，求2A-3B.

　　解　　

2.1.2.3　矩阵的乘法

定义4　设矩阵A=（aij）m×p，B=（bij）p×n，称矩阵C=（cij）m×n为矩阵A与B的乘积，记为

C=AB，

其中

由矩阵乘法的定义不难看出，矩阵A与B的乘积C的元素cij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）等于左边的矩阵A的第i行与右边的矩阵B的第j列的对应元素乘积的和.当然，在矩阵乘积的定义中，要求左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等.

例5　设，，求AB.

　　解　　

例6　设，，计算AB和BA.

解　由矩阵乘法定义得

从例6可以看出，矩阵A≠O，B≠O，但AB=O，这也说明当AB=O，则一般不能推出A=O或B=O.由此可知，当AB=AC且A≠O时，一般推不出B=C.从例6还可以看出，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA，因为当AB有意义时，BA不一定有意义，当AB和BA都有意义，AB与BA未必是同型矩阵，即便是A，B都是同阶方阵，一般情况下AB与BA也不一定相等.如果A，B都是同阶方阵，且AB=BA，那么我们称矩阵A与B可交换，简称A与B可换.

例7　在例2中，如果令

则方程组（1）按照矩阵乘法可表示为AX=B.

尽管矩阵乘法不满足交换律，但容易验证矩阵乘法满足以下运算律.

（1）结合律：（AB）C=A（BC）.

（2）左分配律：A（B+C）=AB+AC.

　右分配律：（B+C）A=BA+CA.

（3）数乘结合律：k（AB）=（kA）B=A（kB）.

（4）单位矩阵E满足：EmAm×n=Am×nEn=Am×n，或简记为EA=AE=A.

证明　我们仅证明（1），其它等式的证明留给读者.

设A=（aij）m×n，B=（bij）n×k，C=（cij）k×s.易知（AB）C和A（BC）都是m×s矩阵，只需证明（AB）C和A（BC）对应位置的元素相等即可.事实上，A（BC）中第i行第j列的元素为A的第i行的元素ai1，ai2，…，ain与BC的第j列的元素，，…，对应乘积之和，即为

　　 （5） 　　

而（AB）C中第i行第j列的元素为AB的第i行的元素，，…，与C的第j列的元素c1j，c2j，…，ckj对应乘积之和，即为

　　 （6） 　　

而（5），（6）两式相等，从而（AB）C=A（BC）.

有了矩阵乘法，我们就可以定义矩阵幂的运算.设矩阵A为n阶方阵，定义

A0=E，A1=A，A2=AA，…，Ak+1=AkA.

易知

AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl

其中，k，l为非负整数.

因为矩阵乘积不满足交换律，一般来说（AB）k≠AkBk，但当A与B可换时，（AB）k=AkBk，（A+B）2=A2+2AB+B2，（A-B）2=A2-2AB+B2等均成立.

2.1.2.4　矩阵的转置

定义5　把一个m×n矩阵

的行列依次互换而得到一个n×m矩阵，称此矩阵为矩阵A的转置矩阵，记为AT，即

由定义5易知，矩阵A与AT互为转置矩阵，A中第i行第j列的元素恰好为AT中第j行第i列的元素.容易验证矩阵的转置满足下面的运算律.

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（λA）T=λAT；

（4）（AB）T=BTAT.

证明　性质（1）、（2）、（3）的证明由定义5易得，这里仅给出（4）的证明.

设A=（aij）m×n，B=（bij）n×k，（AB）T中第i行第j列的元素为AB中第j行第i列的元素，即为

而BTAT中第i行第j列的元素为B中第i列与A中第j行的对应元素的乘积之和，即为

由此知（AB）T=BTAT.

例8　设，，求（AB）T，（BA）T.

解　，于是.

又，从而.

设矩阵A为n阶方阵，如果满足AT=A，则称A为对称矩阵；如果满足AT=-A，则称A为反对称矩阵.

例9　试证明：任一方阵都可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.

证明　设矩阵A为任意一个n阶方阵，令，，则A=B+C，而BT=B，CT=-C，即矩阵B和C分别为对称矩阵和反对称矩阵，从而结论得到证明.

2.1.2.5　矩阵的行列式

定义6　由n阶方阵A的元素按原来的位置所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记为｜A｜或detA.

n阶方阵A的行列式具有以下性质：

（1）｜AT｜=｜A｜；

（2）｜λA｜=λn｜A｜；

（3）｜AB｜=｜BA｜=｜A｜｜B｜.

证明　仅证明性质（3），性质（1）、（2）的证明略.

设A=（aij）n×n，B=（bij）n×n，构造如下2n阶行列式

一方面，由第1章1.2中例8可知，

另一方面，在D中分别以a1j，a2j，…，anj乘第n+1，n+2，…，2n列都加到第j列上（j=1，2，…，n），由行列式的性质得

从而｜BA｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜AB｜.

对于n阶方阵A，B，一般情况下AB≠BA，但由上述性质（3）总有｜BA｜=｜AB｜.

定义7　设，称为矩阵A的伴随矩阵，其中Aij为行列式｜A｜中元素aij的代数余子式.

定理1　对于任意的n阶方阵A，总有AA*=A*A=｜A｜E.

证明　由行列式的性质及矩阵乘法的定义可直接得到AA*=A*A=｜A｜E.