0.3 复数和实数

信号与系统的大多数理论是建立在复变函数的基础之上。例如连续信号的拉普拉斯变换就是复变量s=σ+jω的函数，离散时间信号的z变换也是复变量z=rejθ的函数。

0.3.1 复数和向量

任何一个复数z=a+jb，与平面直角坐标系的点Z（a，b）是一一对应的。同时，复数z=a+jb和由原点O指向点Z的向量也一一对应，如图0-5所示。我们常把复数z=a+jb说成点Z或向量。规定，相等的向量表示同一个复数。

复数的模|z|，也即向量的模r，表示向量的大小，有

复数的幅角θ表示向量的方向，有

因此，复数也可用极坐标表示为

复数的算术运算可借用向量运算法则，如图0-6所示。

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数称为共轭复数。复平面内与一对共轭复数对应的点关于实轴对称。共轭复数有以下性质：

（1）z+z*=2a或者；

（2）z–z*=2jb或者；

（3）zz*=|z|2或者；

（4）；

（5）。

0.3.2 复变函数

以复数作为自变量和因变量的函数就叫作复变函数。例如：指数函数y=ex，若自变量x=jθ是复数，则y=ejθ即为复指数函数。对数函数y=lnz，若自变量z是复数，y就是一个复变函数，且有

1．欧拉公式

欧拉恒等式是一个联系复指数函数和三角函数的公式，即

证明：因为复数cosθ+jsinθ的模和幅角分别为

这和极坐标形式的复数ejθ的模和幅角相等，所以欧拉公式成立。

复指数函数与正弦函数之间的关系在信号与系统的分析中非常重要。利用欧拉恒等式，有

2．欧拉恒等式的应用

1）极坐标到直角坐标的转换

利用欧拉公式可以方便地求出一个极坐标表示的复数的实部和虚部，从而转换成代数形式的复数。利用公式

可快速地将第二、三象限的复数转换到第一、四象限计算。例如：

z1=7ej250°=7ej180°ej70°=–7ej70°=–7cos（70°）–7jsin（70°）=–2.39–j6.58

z2=4e–j220°=4e–j180°e–j40°=–4e–j40°=–4cos（–40°）–4jsin（–40°）=–3.06+j2.57

2）多项式的根

利用欧拉公式可以方便地求出一些特殊多项式的根。例如已知多项式F（z）=z4+1，则该多项式的根可用下述方法求解：

z4+1=0⇒z4k=–1=ej（2k+1）π，k=0，1，2，3⇒zk=ej（2k+1）π/4，k=0，1，2，3

则多项式F（z）的根为：z1=ejπ/4，。

3）三角恒等式

利用欧拉公式可以方便地证明以下三角恒等式。

0.3.3 相量和正弦信号

正弦信号是随时间作正弦规律变化的周期信号，表达式为

式中，A是振幅，ω0=2πf0是角频率，θ是初相位。

由欧拉公式，有

如果角频率ω0给定，正弦信号由其振幅和相位决定，由此，可定义一个相量

这样，正弦信号可以看作相量V以ω0rad/s的速度逆时针旋转时在实轴上的投影。

两个同频率的正弦信号相加可以依照相量的加法规则进行，例如

u（t）=Acos（ω0t+θ）+Bcos（ω0t+φ）

用相量表示，有

U=Aejθ+Bejφ=Cejϕ

则和信号的表达式为

u（t）=Ccos（ω0t+ϕ）

这表明，两个同频率的正弦信号相加得到另一个同频率的正弦信号。