2.2 单个折射球面成像

光学系统成像是光学经过折（反）射面逐次成像的结果，单个折射球面成像是其中基本的成像过程，本节主要讨论单个球面折射的成像问题。

2.2.1 单折射球面成像的光路计算

因几何光学定义包含光轴和主光线的截面为子午面，故在图2.1所示的子午面内，在△AEC中，应用正弦定律，有

于是，得

当轴上点无限远时，即可认为L＝－∞, U＝0，如图2.3所示。此时光线与球面相交的位置由光学的入射高度h决定，所以上式变为

在E点应用折射定律，有

由图2.1可知，φ＝U+I＝U′+I′，由此可得像方孔径角U′

在△A′EC中，应用正弦定律，有

于是，得像方截距为

式（2-1）～式（2-4）即为子午面内物点经单个折射球面成像时实际光线的光路计算公式。由公式可以看出，给出一组物方参量L和U，就可以计算出一组相应的像方参量L′和U′。由共轴球面系统的对称性可知，以A为顶点、2U为顶角的圆锥面上所有光线经折射后均应该会聚于A′点。但由上述公式组可知，当物距L一定时，以不同孔径角U入射的光线，将得到不同的像方截距L′，如图2.4所示，即同心光束经单折射面后，出射光束不再是同心光束，这表明，单个折射球面对轴上点成像是不完善的，这种现象称为球差，将在第6章介绍。

当把入射光线的孔径角（或入射高度）限制在一个很小的范围内，使得与光线有关的所有角度近似满足sinα≈α，符合此条件的区域称为光学系统的近轴区，近轴区内的光线称作近轴光线。因此将式（2-1）～式（2-4）中的所有角度的正弦值用其相应的弧度值来代替，并用相应的小写字母表示，则有

同样，当轴上点无限远时，可得

近轴区内，有

式（2-5）公式组称为近轴光线的光路计算，可见，在近轴区内，光学系统具有较为简单的物像关系。

可以看出，对一个确定位置的物体，无论u为何值，l′均为定值，即近轴光路计算能够获得唯一的像，表明：近轴区内以细光束成像是完善的，该像称为高斯像。通过高斯像点且垂直于光轴的平面称为高斯像面，其位置由l′决定。这样一对构成物像关系的点称为共轭点。

虽然用近轴光路计算讨论光学系统的物像关系具有唯一性，但近轴光路计算毕竟只是一种近似计算，要想精确反映光学系统实际的成像情况，还需采用的式（2-1）～式（2-4）实际光路计算。

2.2.2 近轴区成像的物像关系

由近轴区的光路计算式（2-5）公式组，还可以导出以下计算式：

式（2-8）～式（2-10）是近轴区物像计算的三种不同表达形式，其中式（2-8）表示物像方参数计算的一种不变式，用Q表示，称为阿贝不变量；式（2-9）表示物像方孔径角之间的关系；式（2-10）表示物像位置之间的关系。它们都是很重要的公式，在折射面已知的情况下，可以直接由给定的物方（像方）参数计算出像方（物方）参数，即由物求像或由像求物。

几何光学将式（2-10）等号右边的表达式定义为单折射球面的光焦度，用φ表示，即

光焦度表示了折射面的折光能力。式（2-11）说明折射球面的曲率半径越小，或界面两侧的折射率差值越大，折光能力就越强。

在式（2-10）中分别令物距和像距为∞，则可得到无限远轴上物点（l＝－∞）所对应的像距即折射面的像方焦距（用f′表示），及无限远轴上像点（l′＝∞）所对应的物距即折射面的物方焦距（用f表示）。于是，有

单个折射面可以看做一个最简单的成像系统，式（2-12）说明：单个折射球面的物方焦距与像方焦距之比和物方介质折射率与像方介质折射率之比，大小相等，符号相反。

2.2.3 近轴区成像的放大率和传递不变量

讨论对有限大小的物体成像时，自然就涉及像的放大率和正倒问题。几何光学中所用的放大率有三种：一种是垂轴放大率（横向放大率），它定义为垂轴小物体成像时，像的大小与物的大小之比；另一种是轴向放大率，它表征像点与对应的物点沿轴移动量之比；还有一种称为角放大率，它是一对共轭光线与光轴夹角u′与u之间的比值。这三种放大率依次记为β、α和γ。

1．垂轴放大率β

它定义为垂轴小物体成像时，像的大小与物的大小之比，即

由图2.5中相似△ABC和△A′B′C′，得

利用阿贝不变量Q式，得

由式（2-14）可知，β仅取决于共轭面的位置，与物体的大小无关。在一对共轭面上，β为常数，所以像与物相似。

2．轴向放大率α

轴向放大率表征像点与对应的物点沿轴移动量之比，它定义为物点沿光轴作微小移动dl时，所引起的像点移动量dl′与物点移动量dl之比，用α来表示，即

将式（2-10）两边微分，得

于是，得轴向放大率

轴向放大率与垂轴放大率之间的关系为

3．角放大率γ

近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线与光轴夹角u′与u之间的比值，用γ来表示，γ表示折射球面将光束变宽或变细的能力，即

利用式（2-7），得

上式表明：γ只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关。

角放大率与垂轴放大率之间的关系可表达为

显然，垂轴放大率、轴向放大率和角放大率之间满足：

由，得

式（2-22）称为拉赫公式或拉赫不变量，是光学系统在近轴区成像时物方和像方参数乘积的一个不变式。拉赫不变量是表征光学系统性能的一个重要参量，即在拉赫不变量的限制范围内，像高y′的增大，必然伴随着像方孔径角u′的减小；也即表明在光学系统中，增大视场y将以牺牲孔径角u为代价。

4．三种放大率与物体成像的关系

对单折射面，近轴区三种放大率反映了物体的成像关系。

（1）β是有符号数，具体表现为：

①成像正倒：当β＞0时，表明y′、y同号，成正像；否则，成倒像。

②成像大小：当｜β｜＝1时，表明｜y′｜＝｜y｜，像、物大小一致；｜β｜＞1时，表明｜y′｜＞｜y｜，成放大的像；反之，成缩小的像。

③成像虚实：当β＞0时，表明l′、l同号，物像同侧，虚实相反；否则，物像异侧，虚实相同。

④当物体位于不同的位置时，β不同。

（2）因α恒为正，故当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同向移动；且因α≠β，故空间物体成像时要变形，例如一正方体成像后将不再是正方体。

（3）γ只与共轭点的位置有关，而与光线的孔径角无关。物体总有一定大小，因此在上述轴上点成像的基础上，我们还将讨论轴外点和物平面以细光束成像的情况。

如图2.6所示，球心C处放置的具有小孔的屏（称光阑）限制了物方各点以细光束成像，它使物空间以C为中心，CA为半径所作的球面A1AA2上的每一点均成像于同心球面V′（即球面A′1A′A′2）上。此时，物方垂直于光轴的平面BA的像是否也是过A′点并垂直于光轴的平面呢？情况并非如此。因为物平面上的点B可看做是由球面上的点A1沿辅助光轴CA1移动dl得到的。由式（2-17）可知，对于折射球面，当物点沿光轴移动时，像点一定沿同方向移动。因此，B点的像B′必位于A′1和C之间，即物平面BA的像是一相切于A′点，并比球面V′曲率更大的曲面V″。由此可见，平面物体即使以细光束经折射球面成像也不可能得到完善的平面像，这也是成像的像差之一，称作像面弯曲，将在第6章介绍。

例2.1 如图2.7所示，半径为r＝20mm的一折射球面，两边的折射率分别为n＝1, n′＝1.5163，当物体位于距球面顶点60mm时，求：

（1）轴上物点A的成像位置；

（2）垂轴物面上距轴10mm处物点B的成像位置。

解（1）对轴上点A，将给定条件r＝20 m m, n＝1, n′＝1.5163, lA＝－60 m m代入物像位置式（2-10）得

解得l′A＝165.75mm，即轴上点A的像A′点位于光轴上距顶点165.75mm处，A′点距球心的位置为145.75mm。

（2）过轴外物点B做连接球心C的直线，该直线可以看做一条辅助光轴，点B可以看做辅助光轴O1C上的一点。在辅助光轴上，其物距为

同样，代入物像位置式（2-10）得，在辅助光轴上，l′B＝162.71mm，即轴外点B的像B′点位于主光轴OC以外距球心的位置为142.71 m m。

很显然，AB的像A′B′并非平面，更加印证了图2.6中垂直光轴的物平面以细光束经折射球面成像后并非平面，垂轴物面上物点离光轴越远，像距越小，对应的像面越弯向球心。在无限接近光轴的附近区域，物平面是靠近光轴很小的垂轴平面，弯曲的像面近似垂直于光轴，可认为是成完善像，此完善像面称为高斯像面。因此，通常所说的近轴概念包含两种情况：①物体以很细的光束成像；②成像的物体很靠近光轴。在以上两种情况确定的近轴区内，可认为球面光学系统成完善像。