注释
§7.1
[7.1]对那些想系统了解这个问题的几何细节的读者,我建议你们去看Needham(1997)。
[7.2]我将在§10.5引入偏微分概念之后再给出这些公式。
§7.2
[7.3]说得更明确点儿,f“沿”路径z=p(t)(p是实参数t的光滑复值函数)的积分可表示为定积分,这里p(u)是路径起点a的值,p(v)是终点b的值。
§7.3
[7.4]柯西公式必定为真的“理由”是,对绕原点的小闭合圆环,f(z)实际上可看成是一个常数f(0),于是这种情形退回到§7.2的研究。
[7.5]这是这方面术语让人烦恼的地方。“域(domain)”有两重意义。一个是“复平面上连通的开区域”,我们这里不用这重意义。另一个就是我们这里所用的(如前§6.1)函数f被定义的复平面区域,它不必是开的或是连通的。
[7.6]欧拉最早考虑了这种ζ函数,但通常总是用黎曼来命名,以纪念他在将这个函数拓展到复平面上所做的基础性工作。
[7.7]注意这个级数与通常幂级数(-z)+(-z)2+(-z)3+…=-z(1+z)-1之间“上下颠倒”的奇妙关系。
[7.8]有关ζ函数和黎曼猜想的进一步内容请见Apostol(1976),Priestley(2003)。通俗评述见Derbyshire (2003),du Sautoy(2003),Sabbagh(2002),Devlin(1988,2002)。
*〔7.1〕解释:当n为不等于-1的整数时,为什么有∮zndz=0?
*〔7.2〕将f(z)的麦克劳林级数代入积分来证明这一点。
**〔7.3〕至少从形式上证明所有这些,不必是严格论证。
**〔7.4〕在一个闭周线Γ上,或在除了f有极点的有限点集之外的Γ内,函数f(z)处处是全纯的。从§4.4我们知道,在z=α位置上出现n阶极点的f(z)有形式h(z)/(z-α)n,这里h(z)在α位置是正则函数。证明:∮Γf(z)dz=2πi×{这些极点的留数之和},其中极点α上的留数为hn-1(α)/(n-1)!。
***〔7.5〕通过在如下组成的闭周线Γ上积分z-1eiz证明x-1sin x dx=,该周线由实轴上从-R到-ε、从ε到R(R>ε>0)两部分和上半平面上半径分别为R和ε的两个半圆弧组成。然后令ε→0和R→∞。
***〔7.6〕通过在大周线上(譬如说以原点为中心的边长2N+1的正方形,N是一个大数)积分f(z)=z-2cot π z(见注释5.1),然后令N→∞来证明1+。(提示:利用练习[7.5],求出f(z)的极点和留数。并证明为什么当N→∞时f(z)的周线积分趋于零。)
**〔7.7〕f(z)=1/z在点p的幂级数是什么?
**〔7.8〕导出这个级数。