注释

§5.1

[5.1]还应提到的三角函数有cotθ=cosθ/sinθ=（tanθ）－1，secθ=（cosθ）－1和cosecθ=（sinθ）－1。还有“双曲”函数sinh t=（et－e－t），cosh t=（et+e－t），tanh t=sinh t/cosh t，等等。注意，这些函数的反函数记为cot－1，sinh－1，等等，就像§5.1里的“tan－1（y/x）”那样。

§5.2

[5.2]对数是由纳皮尔（John Napier，1550～1617）于1614年引入的，1624年，布里格斯（Henry Briggs，1561～1630）将其推广应用。

§5.3

[5.3]自然对数通常也作“ln”。

[5.4]从迄今所建立起来的情况看，我们不能推断说公式z=log r+iθ中的“iθ”不可是iθ的实数倍。这需要计算。

[5.5]柯茨（Cotes，1714）得到过等价的公式log（cosθ+i sinθ）=iθ，欧拉的eiθ=cosθ+i sinθ第一次出现时似乎要比前者晚了30年（见Euler，1748）。

[5.6]这里对（cosθ）3我用的是方便（但有些不合逻辑）的记法cos3θ。而记号cos－1θ通常则用以表示反函数arccosθ。公式sinnθ+i cosnθ=（sinθ+i cosθ）n有时也称为“棣莫弗（De Moivre）定理”。亚伯拉罕·棣莫弗作为与罗杰·柯茨同时代的人，似乎也是eiθ=sinθ+i cosθ的共同发现者之一。

**〔5.1〕检验这些不同的可能性。

**〔5.2〕不妨试试。

***〔5.3〕试不做具体计算也不用三角学来验证这一点。（提示：这是“分配律”w（z1+z2）=wz1+wz2的结果，它说明复平面保“线性”结构，而w（iz）=i（wz）则说明转过一个直角的转动是保角的，即直角在转动中保持不变。）

*〔5.4〕验证这一点。

***〔5.5〕直接从级数验证这一点。（提示：按照整数指数的“二项式定理”，（a+b）n的apbq项的系数为n！/p！q！。）

*〔5.6〕由此证明z+πi是－w的对数。

*〔5.7〕验证一下

*〔5.8〕验证一下。

***〔5.9〕证明这一点。可有多少种方法？找出所有特解。

**〔5.10〕解这个“疑难”：因为e=e1+2πi，故e=（e1+2πi）1+2πi=e1+4πi－4π2=e1－4π2。

*〔5.11〕证明这一点。

*〔5.12〕为什么这是一种容许的规定？

*〔5.13〕证明为什么这是有效的。

*〔5.14〕验证这一点。

**〔5.15〕证明这一点。