![统计质量评价理论基础](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/913/23313913/b_23313913.jpg)
1.15 正态分布概率计算通式
张公绪教授主编的《质量专业工程师控制手册》[7]谈到了正态分布概率计算公式。对于任意实数a和b(a≤b),若随机变量X~N(μ, σ2),则有下列概率(面积)计算公式
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需要说明的是,只要记住式1-8就可以计算正态分布各种情况下的概率。因为式1-9和式1-10都是式1-8的特例,因此作者将式1-8称为正态分布概率通用计算公式。例如
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但是有一点,应熟知Φ(-∞)=0和Φ(∞)=1,这不需要记忆,只要把它们看成从-∞开始积分的面积,便很容易理解。
【例5】 对于X~N(4,22),计算P(-2≤X≤8)。
解:通过标准变换,可将X~N(4,22)变成U~N(0,12),见图1-6。
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图1-6 标准变换示意图
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在上例对一般正态分布的概率计算过程中,只要将μ和σ代入通用公式P(a≤X≤b)=计算并查表,就可以计算出正态分布在任一区间内的概率。上述随机变量X标准化的过程是:随机变量X变为U,概率密度函数由p(x)变为φ(x),正态分布由N(4,22)变为N(0,1),积分区间由[ -2,8]变为[ -3,2],但分布的概率(面积)不变。
【例6】 灯泡的使用寿命服从正态分布,对50个样本测试,均值为60天,标准差是20天,求多少灯泡在100天后仍能继续工作。
解:这是求灯泡使用超过100天的概率,即P(100≤X)。根据正态分布概率计算通式有
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【例7】 某工厂生产的元器件的寿命(以小时计)服从正态分布,已知μ=160,若要求P(120≤X≤200)≥0.9,生产过程中应将标准差σ控制在多大的范围内?
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即,亦即
, σ≤24.24,故应将标准差控制在24.24以内。
【例8】 某厂生产的螺栓长度服从参数为μ=10.05, σ=0.06的正态分布。规定长度在10.05cm±0.12mm内为合格。求螺栓的缺陷率为多少?
解:合格区间为[9.93,10.17],合格概率为
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故缺陷率p=1-[2Φ(2)-1] =2-2Φ(2)=0.0455=4.55%
本章小结 本章简要介绍了数理统计的一些基本概念,包括总体与样本、正常波动与异常波动、计量值与计数值、均值与标准差以及通过样本推断总体的理论基础和一般方法。在介绍正态分布的基本概念、特点和性质的基础上,介绍了标准正态分布的基本概念和重要性质,一般正态分布为何要转化为标准正态分布以及如何转化等问题。此外,还重点介绍了正态分布概率计算通式及其应用。