3.4 耦合模理论[40]

耦合模理论是求解光在周期性介质中传播的一种近似方法。在这个理论中，介电张量的周期性变化被看作一种微扰，未受微扰时的简正模在微扰作用下发生耦合。为简单起见，这里仅考虑一维周期性介质的情况。将随空间位置变化的介电张量表示为

式中，ε0（x，y）为介电张量未受微扰的部分;而介电张量的微扰部分Δε（x，y，z）在z方向是周期性变化的。假设光在由介电张量ε0（x，y）描述的、未受微扰的介质中传播的简正模是已知的，并且因为未受微扰的介质在z方向是均匀的，即∂ε0（x，y）/∂z=0，则简正模可以写为

式中，m表示模的下标。m既可以是连续的，如对于像平面波之类的自由模，也可以是离散的，如对于像波导模之类的束缚模（见5.1节），这些简正模满足

式中，已假定▽·E=0。若频率为ω的某一电场在z=0处被激发，则此场在未受微扰的介质中的传播场总可以用简正模的线性组合来表示，即

式中，Am为常数。由于简正模构成一个完备系，因此式（3.4-4）的表示是合理的。通常将这些模式按沿z方向的功率通量为1W进行归一化。于是模式的正交关系可写成[40]

式中，Hk是与模式Ek有关的磁场。当▽·E=0及模式Em满足方程（3.4-3）时，此正交关系变为

若在z=0处激发单模，比方说），则电磁波在整个未受微扰介质中仍然是这个单模。

现在考虑在介电张量ε0（x，y）+Δε（x，y，z）描述的微扰介质中，未受微扰模的传播。介质微扰Δε（x，y，z）的存在产生新的微扰极化波。若此极化波使另一个模）的能量产生增加或减少，则称介质微扰Δε（x，y，z）使模E1和E2之间发生耦合，也就是说，使两者发生能量交换。下面讨论这种耦合发生的条件。

当Δε≠0时，）不再是本征模，所谓本征模是指该模在通过介质时能保持自身形式不变。由于未受微扰的介质结构的简正模具有完备性、正交性，按照现代泛函理论，可以把受到微扰的场矢量用未受微扰时的简正模展开，即

式中，各展开项系数显然随z而变。将式（3.4-7）代入波动方程，得

并利用方程（3.4-3），得到

假定介质微扰是“弱的”，即Δε（x，y，z）≪ε0（x，y），因此模振幅的变化是“慢的”，并满足下列条件

此条件称为抛物线近似。于是，忽略方程（3.4-9）中的二阶导数项，得到

取方程（3.4-11）与（x，y）的标量积，并对所有x和y积分，利用简正模的正交性，即式（3.4-6），可得

式中

因为Δε（x，y，z）在z方向是周期性的，可以将其按傅里叶级数展开为

式中，Λ为z方向的空间周期。根据Δε（x，y，z）在方程（3.4-1）中的含义，式中求和针对除m=0之外的所有m。把式（3.4-13）、式（3.4-14）、式（3.4-15）代入式（3.4-11）之后，得

式中，耦合系数定义为

反映了由于介质微扰的第m个傅里叶分量产生的第k个模和第l个模之间耦合的大小。方程（3.4-16）构成一组耦合线性微分方程组。原则上，该方程组涉及的模的数目无限。但实际上，在共振耦合条件附近，只有两个模是强烈耦合的;在这种情况下，方程（3.4-16）简化为两个方程。所谓共振耦合指的是耦合的两个模满足条件

这个条件称为纵向相位匹配，或简单地称为相位匹配。考察耦合方程（3.4-16）可以看出，通过介质微扰的第m个傅里叶分量作用，在z和z+dz之间的范围内，第k个模与第l个模因模耦合产生的场振幅增量dAk为

当场振幅随空间位置缓慢变化时，可以将方程（3.4-19）在z和z+L之间积分，其中Λ≪L，但L比场振幅的变化尺度小得多。这样得出第k个模场振幅净增量ΔAk的表达式为

由上式可见，当m不满足条件式（3.4-18）时，方程（3.4-20）中的积分为零，因此第k个模和第l个模之间不再耦合。总之，模k和模l之间要发生显著的耦合，必须满足两个条件，其一是满足式（3.4-18）;其二是耦合系数 必须不为零。前者称为运动学条件;后者则称为动力学条件。由于式（3.4-18）类似于晶体中X射线衍射公式，通常也称为布拉格条件。在此条件下，由具有空间传播因子exp（iβz+ik y y）的平面波表示的入射波，与具有空间传播因子exp（iβz-ik y y）的反射波强烈耦合。常数β是垂直于相关晶面的波矢分量。从式（3.4-18）可以得出，晶面的间距Λ需要满足

因为β=（2π/λ）cosθ，其中θ为入射角，所以式（3.4-21）可表示为

式（3.4-22）为X射线衍射的布拉格条件。如上所述，此条件是必要的，而不是充分的。衍射的强度决定于周期性介电常数的傅里叶展开系数及波的偏振。

3.4.1 耦合模方程

方程（3.4-16）描述的是由周期性介质微扰产生的模耦合最一般的情况。实际上，通常只涉及两个模之间的耦合。不妨将两个耦合模分别标为1和2，忽略它们与其他任何一个模的相互作用，耦合模方程变为

式中

并且，为式（3.4-17）给出的耦合系数。假如 Δε（x，y，z）为厄米介电张量，从定义式（3.4-17）可直接证明

如果式（3.4-1）的介电张量ε只是z的函数（即不依赖x、y），则未受微扰介质的简正模是平面波，介质微扰的傅里叶系数εm是常数。在这种特殊情况下，耦合系数变为

式中，pk和pl是平面波的单位偏振矢量。注意，耦合系数取决于耦合模的偏振态及傅里叶展开系数εm的张量性质。在耦合方程（3.4-23）中，因子β1/和β2/的正负号很重要，它决定耦合的性质。当然，这些正负号取决于耦合模的传播方向。因此耦合分成两类:同向耦合和反向耦合。

3.4.2 同向耦合

当耦合模在同一方向（比方说+z方向）传播时，符号因子β1/和β2/都等于1。耦合方程变为

式中

注意，A1和A2是归一化模的复振幅。因此和分别代表模1和2的功率通量。耦合模方程（3.4-27）满足能量守恒定律，因此

通过从0～z的积分，得到方程（3.4-27）的通解为

式中

A1（0）和A2（0）为z=0处的模振幅。由式（3.4-30）可见，经过距离z，从模A2耦合到模A1（反之亦然）的功率分数为

其最大值为，在Δβ≫κ情况下，它将变小。只有当Δβ=0时，即当相位匹配时，功率的完全交换才是可能的。

3.4.3 反向耦合

当耦合模在相反方向传播时，如β1>0，且β2<0，β1/和β2/分别变为1和-1。耦合方程变成

式中κ仍然由方程（3.4-28）给出。对这种情况，在+z方向的净功率通量为，耦合模方程（3.4-33）也满足能量守恒定律，即

通常取反向耦合的边界条件为:在z=0处，A1=A1（0）;在z=L处，A2=A2（L）。方程（3.4-33）的通解为

式中

由通解（3.4-35）可见，在z=0和z=L之间的区域内，这两个模之间的功率交换率为

注意，η-随Δβ增加而减少，而反向耦合的完全功率交换只有在满足相位匹配条件（Δβ=0）和L为无限大时才出现。这种情况不同于同向耦合。在同向耦合情况下，只要Δβ=0，功率在两个模之间往复交换，并且完全的功率交换在空间周期性进行;而在反向耦合情况下，功率则是单调地从一种模式转换为另一种模式。